中级微观21|成本最小化

利润最大化要求企业先做到成本最小化（cost minimization）：生产任意给定的产量水平 $y\ge 0$ 时，以最小的可能总成本去生产。本章研究这个”给定产量、最小化成本”的问题。

成本最小化问题

总成本函数

• $c(y)$ 表示企业生产 $y$ 单位产量的最小总成本，称为企业的总成本函数（total cost function）。
• 若企业的要素投入价格为 $w=(w_1,w_2,\dots ,w_n)$，总成本函数可写作：

$c(w_1,\dots ,w_n,y)$

问题的数学表述

考虑使用两种投入要素的企业，生产函数为 $y=f(x_1,x_2)$，产出水平 $y\ge 0$ 给定，要素价格 $w_1$、$w_2$ 给定，要素投入束 $(x_1,x_2)$ 的成本为 $w_1{x}_1+w_2{x}_2$。成本最小化问题就是求解：

${\min }_{x_1,x_2\ge 0}{w}_1{x}_1+w_2{x}_2\text{s.t.}f(x_1,x_2)=y$

条件要素需求与成本函数

成本最小化问题的解 $x_1^{\ast }(w_1,w_2,y)$、$x_2^{\ast }(w_1,w_2,y)$ 称为企业对要素 1 和 2 的条件要素需求（conditional factor demand）——之所以”条件”，是因为它们以产量 $y$ 为条件，随 $y$ 变化。

生产 $y$ 单位产量的最小总成本就是：

$c(w_1,w_2,y)=w_1{x}_1^{\ast }(w_1,w_2,y)+w_2{x}_2^{\ast }(w_1,w_2,y)$

接下来要回答两个问题：给定 $w_1,w_2,y$，成本最小的要素投入束如何求得？总成本函数如何计算？

等成本线

代表相同成本的要素投入组合的点组成的曲线即等成本线（isocost line）。

• 给定 $w_1,w_2$，成本为 100 的等成本线方程为 $w_1{x}_1+w_2{x}_2=100$。
• 一般地，成本为 $c$ 的等成本线为 $w_1{x}_1+w_2{x}_2=c$，即

$x_2=\frac{c}{w_2}-\frac{w_1}{w_2}{x}_1$

• 斜率为 $-w_1/w_2$；$c$ 越大，等成本线离原点越远（$c^{\prime }<c^{\prime \prime }$）。

图解：成本最小的要素组合

固定 $w_1,w_2$，画出产量 $y^{\prime }$ 的等产量线（isoquant） $f(x_1,x_2)=y^{\prime }$：等产量线上所有的投入组合都能生产 $y^{\prime }$ 单位产品，哪一个最便宜？

做法是把等成本线不断向远离原点的方向平移：与等产量线相切的那条等成本线就是能达到的最低成本，切点 $(x_1^{\ast },x_2^{\ast })$ 就是最便宜的投入组合。

内点解（interior solution）的条件：在成本最小的内点投入组合 $(x_1^{\ast },x_2^{\ast })$ 处，

• (a) 等产量线约束成立：$f(x_1^{\ast },x_2^{\ast })=y^{\prime }$；
• (b) 等成本线的斜率 = 等产量线的斜率，即

$-\frac{w_1}{w_2}=\text{TRS}=-\frac{M{P}_1}{M{P}_2}\text{at }(x_1^{\ast },x_2^{\ast })$

其中 TRS 是技术替代率（technical rate of substitution），$M{P}_1,M{P}_2$ 为要素的边际产量（marginal product）。直观含义：技术上”用要素 1 换要素 2”的比率必须等于市场上两种要素的价钱之比，否则可以通过调整要素组合进一步省钱。

例题：柯布-道格拉斯技术

求条件要素需求

企业的生产函数是柯布-道格拉斯（Cobb-Douglas）形式：

$y=f(x_1,x_2)=x_1^{1/3}{x}_2^{2/3}$

要素价格 $w_1,w_2$ 给定，求条件要素需求函数。最优投入组合 $(x_1^{\ast },x_2^{\ast })$ 必须满足两个条件：

(a) 等产量约束：

$y=(x_1^{\ast }{)}^{1/3}(x_2^{\ast }{)}^{2/3}$

(b) 相切条件（TRS = 要素价格比）：

$-\frac{w_1}{w_2}=-\frac{M{P}_1}{M{P}_2}=-\frac{\frac{1}{3}(x_1^{\ast }{)}^{-2/3}(x_2^{\ast }{)}^{2/3}}{\frac{2}{3}(x_1^{\ast }{)}^{1/3}(x_2^{\ast }{)}^{-1/3}}=-\frac{1}{2}\cdot \frac{x_2^{\ast }}{x_1^{\ast }}$

由 (b) 解出：

$x_2^{\ast }=\frac{2w_1}{w_2}{x}_1^{\ast }$

代入 (a)：

$y=(x_1^{\ast }{)}^{1/3}{\left(\frac{2w_1}{w_2}{x}_1^{\ast }\right)}^{2/3}=x_1^{\ast }{\left(\frac{2w_1}{w_2}\right)}^{2/3}$

于是得到企业对要素 1 的条件需求：

$x_1^{\ast }(w_1,w_2,y)={\left(\frac{w_2}{2w_1}\right)}^{2/3}y$

再由 $x_2^{\ast }=\frac{2w_1}{w_2}{x}_1^{\ast }$ 得到对要素 2 的条件需求：

$x_2^{\ast }(w_1,w_2,y)={\left(\frac{2w_1}{w_2}\right)}^{1/3}y$

所以产出为 $y$ 单位时成本最小的要素投入组合是

$(x_1^{\ast }(w_1,w_2,y),x_2^{\ast }(w_1,w_2,y))=\left({\left(\frac{w_2}{2w_1}\right)}^{2/3}y,{\left(\frac{2w_1}{w_2}\right)}^{1/3}y\right)$

条件要素需求曲线与产量扩张线

固定 $w_1$ 和 $w_2$，让产量 $y$ 变化：每个产量水平对应一条等产量线及一条与之相切的等成本线，切点随 $y$ 移动形成的轨迹是产量扩张线（output expansion path）。把每个产量对应的 $x_1^{\ast }(y)$、$x_2^{\ast }(y)$ 单独画成”产量—要素”两幅图，就得到条件要素需求曲线。

总成本函数

把条件要素需求代入成本定义：

$c(w_1,w_2,y)=w_1{x}_1^{\ast }(w_1,w_2,y)+w_2{x}_2^{\ast }(w_1,w_2,y)=\left[w_1{\left(\frac{w_2}{2w_1}\right)}^{2/3}+w_2{\left(\frac{2w_1}{w_2}\right)}^{1/3}\right]y$

化简（两项都提出公因子 $w_1^{1/3}{w}_2^{2/3}$）：

$c(w_1,w_2,y)=\left(\frac{w_1^{1/3}{w}_2^{2/3}}{2^{2/3}}+\frac{2^{1/3}{w}_1^{1/3}{w}_2^{2/3}}{1}\right)y=3{\left(\frac{w_1{w}_2^2}{4}\right)}^{1/3}y$

例题：完全互补（固定比例）技术

企业的生产函数是

$y=f(x_1,x_2)=\min \{4x_1,x_2\}$

其等产量线呈 L 形，折点在直线 $4x_1=x_2$ 上。生产 $y$ 单位产品时，多买任何一种要素都只是浪费，所以最便宜的投入组合必在折点上，即同时满足 $4x_1^{\ast }=y$、$x_2^{\ast }=y$：

条件要素需求为（与要素价格无关）：

$x_1^{\ast }(w_1,w_2,y)=\frac{y}{4},x_2^{\ast }(w_1,w_2,y)=y$

所以企业的总成本函数是

$c(w_1,w_2,y)=w_1\cdot \frac{y}{4}+w_2\cdot y=\left(\frac{w_1}{4}+w_2\right)y$

练习：三类技术的条件要素需求与成本函数

对下列生产函数，求条件要素需求和成本函数：

1. $y=2x_1+x_2$（完全替代 perfect substitutes）
2. $y=\min (2x_1,x_2)$（固定比例）
3. $y=x_1^a{x}_2^b$（柯布-道格拉斯）

答案 1. 完全替代技术按”每单位产量的花费”择低使用：用要素 1 生产 $y$ 需 $y/2$ 单位（花费 $w_{1}y/2$），用要素 2 需 $y$ 单位（花费 $w_{2}y$）。

$x_1^{\ast }(w_1,w_2,y)=\{\begin{array}{ll}y/2,& w_1<2w_2\\ 0,& w_1>2w_2\end{array}{x}_2^{\ast }(w_1,w_2,y)=\{\begin{array}{ll}0,& w_1<2w_2\\ y,& w_1>2w_2\end{array}$

$C(w_1,w_2,y)=\min \left(\frac{w_{1}y}{2},w_{2}y\right)=y\cdot \min \left(\frac{w_1}{2},w_2\right)$

（$w_1=2w_2$ 时两者花费相同。）

答案 2. 折点处 $2x_1=y$：

$x_1^{\ast }(w_1,w_2,y)=\frac{y}{2},x_2^{\ast }(w_1,w_2,y)=y$

$C(w_1,w_2,y)=\frac{w_1}{2}y+w_{2}y=\left(\frac{w_1}{2}+w_2\right)y$

答案 3. 相切条件 $\frac{a}{b}\frac{x_2}{x_1}=\frac{w_1}{w_2}$ 与约束 $y=(x_1{)}^a(x_2{)}^b$ 联立求解：

$x_1^{\ast }(w_1,w_2,y)={\left(\frac{a{w}_2}{b{w}_1}\right)}^{\frac{b}{a+b}}{y}^{\frac{1}{a+b}},x_2^{\ast }(w_1,w_2,y)={\left(\frac{b{w}_1}{a{w}_2}\right)}^{\frac{a}{a+b}}{y}^{\frac{1}{a+b}}$

$C(w_1,w_2,y)=\left[w_1{\left(\frac{a{w}_2}{b{w}_1}\right)}^{\frac{b}{a+b}}+w_2{\left(\frac{b{w}_1}{a{w}_2}\right)}^{\frac{a}{a+b}}\right]y^{\frac{1}{a+b}}$

平均总成本

对于给定的正的产量水平 $y$，企业生产 $y$ 单位产量的**平均总成本（average total cost）**是

$AC(w_1,w_2,y)=\frac{c(w_1,w_2,y)}{y}$

规模报酬与平均总成本

企业技术的**规模报酬（returns to scale）**性质决定了平均成本如何随产量变化。企业现生产 $y^{\prime }$ 单位，若改生产 $2y^{\prime }$ 单位，平均成本如何变化？

规模报酬	产量翻倍所需投入	总成本	平均成本
不变（constant r.t.s.）	所有投入翻倍	翻倍	不变
递减（decreasing r.t.s.）	超过两倍	超过两倍	上升
递增（increasing r.t.s.）	不到两倍	不到两倍	下降

规模报酬与总成本曲线的形状

总成本曲线 $c(y)$ 在 $y^{\prime }$ 处割线的斜率 $=c(y^{\prime })/y^{\prime }=AC(y^{\prime })$，即从原点到成本曲线上该点连线的斜率就是该产量的平均成本。因此规模报酬直接决定 $c(y)$ 的形状：

规模报酬递减：成本曲线凸向下方，AC 递增

产量翻倍成本超过两倍，割线越来越陡，平均成本随 $y$ 上升。

规模报酬递增：成本曲线凹向上方，AC 递减

产量翻倍成本不到两倍，割线越来越平，平均成本随 $y$ 下降。

规模报酬不变：成本曲线是过原点的直线，AC 不变

$c(2y^{\prime })=2c(y^{\prime })$，于是

$\text{斜率}=\frac{c(2y^{\prime })}{2y^{\prime }}=\frac{2c(y^{\prime })}{2y^{\prime }}=\frac{c(y^{\prime })}{y^{\prime }}\Rightarrow AC(y^{\prime })=AC(2y^{\prime })$

短期和长期总成本

长期与短期的成本最小化问题

在长期（long run），企业可以改变所有投入要素。**短期（short run）**则至少有一种要素固定——考虑企业不能改变要素 2 的原投入量 $x_2^{\prime }$ 单位的情形：

$\text{长期：}{\min }_{x_1,x_2}{w}_1{x}_1+w_2{x}_2\text{s.t.}f(x_1,x_2)=y\text{短期：}{\min }_{x_1}{w}_1{x}_1+w_2{x}_2^{\prime }\text{s.t.}f(x_1,x_2^{\prime })=y$

短期成本最小化问题就是给长期问题增加一个额外约束 $x_2=x_2^{\prime }$：

• 若企业对要素 2 的长期最优选择恰好是 $x_2^{\prime }$，则额外约束不是束紧的（binding），此时短期与长期的最小成本相同；
• 若长期最优选择不是 $x_2^{\prime }$，这个额外约束就会使企业生产 $y$ 的短期总成本高于长期总成本。

图形比较：长期扩张线与短期扩张线

考虑三种产出水平 $y^{\prime }<y^{\prime \prime }<y^{\prime \prime \prime }$。长期中企业自由选择 $x_1,x_2$，各产量的成本最小点都落在长期产量扩张线上：

现在施加短期约束（图中要素 1 固定在 $x_1^{\prime \prime }$，短期扩张线是一条竖直线）。三种产量下：

$\text{长期：}c(y^{\prime })=w_1{x}_1^{\prime }+w_2{x}_2^{\prime },c(y^{\prime \prime })=w_1{x}_1^{\prime \prime }+w_2{x}_2^{\prime \prime },c(y^{\prime \prime \prime })=w_1{x}_1^{\prime \prime \prime }+w_2{x}_2^{\prime \prime \prime }$

$\text{短期：}{c}_s(y^{\prime })>c(y^{\prime }),c_s(y^{\prime \prime })=c(y^{\prime \prime }),c_s(y^{\prime \prime \prime })>c(y^{\prime \prime \prime })$

只有产量 $y^{\prime \prime }$（短期固定量恰好等于长期最优量）时两者相等，其余产量下短期成本都更高。

成本曲线：短期曲线在长期曲线之上相切

除非产量水平恰好使短期固定的要素投入等于长期最优投入，否则短期总成本超过长期总成本。也就是说，短期总成本曲线与长期总成本曲线只有一个公共点，在其他点短期成本曲线都位于长期成本曲线之上。短期曲线的纵截距 $F=w_2{x}_2^{\prime \prime }$ 是固定成本。

例子：柯布-道格拉斯技术的长期与短期成本函数

设 $y=x_1^{0.5}{x}_2^{0.5}$，要素价格为 $w_1,w_2$，短期内 $x_2$ 不变（固定为 $x_2^{\prime \prime }$）。

① 长期。 相切条件 $M{P}_1/M{P}_2=w_1/w_2$，而 $M{P}_1/M{P}_2=\frac{x_2}{x_1}$，故

$\frac{x_2}{x_1}=\frac{w_1}{w_2}\Rightarrow x_2=\left(\frac{w_1}{w_2}\right)x_1$

代入生产函数 $y=x_1^{0.5}{x}_2^{0.5}$ 解得 $x_1=y(w_2/w_1{)}^{0.5}$、$x_2=y(w_1/w_2{)}^{0.5}$，于是

$C_l(y)=w_1{x}_1+w_2{x}_2=w_1^{0.5}{w}_2^{0.5}y+w_1^{0.5}{w}_2^{0.5}y=2(w_1{w}_2{)}^{0.5}y$

② 短期。 $x_2=x_2^{\prime \prime }$，由 $y=x_1^{0.5}(x_2^{\prime \prime }{)}^{0.5}$ 解出 $x_1=y^2/x_2^{\prime \prime }$，于是

$C_s(y)=w_1{x}_1+w_2{x}_2^{\prime \prime }=w_1\frac{y^2}{x_2^{\prime \prime }}+w_2{x}_2^{\prime \prime }$

短期成本函数是产量的二次函数（边际成本递增），长期成本函数是产量的线性函数——这正对应上文：固定一种要素后，企业失去了规模报酬带来的成本优势。