中级微观19|技术

本章对应 Varian《中级微观经济学》（Intermediate Microeconomics）第 19 章 Technology。课件用几个问题引入：是什么导致了不同国家之间的收入差距？是什么导致了不同行业之间的收入差距？国家粮食局局长任正晓曾撰文指出，当时国际大豆、玉米、小麦、大米价格分别比国内每吨低 1175 元、923 元、626 元和 1143 元——这些现实问题背后，都是”投入如何转化为产出”的技术（technology）问题。

技术：把投入转化为产出

• **技术（technology）**是指将投入转化为产出的一种过程。例如劳动、电脑、投影仪、电、软件、教室共同”生产”了这堂课。
• 通常有几种技术都可以生产出相同的产品——黑板和粉笔 vs 电脑和投影仪。于是自然有两个问题：**哪一种技术是最好的？如何比较不同的技术？**本章就是要建立起用来比较技术的语言。

投入束、生产函数与生产集合

投入束（input bundle）

• $x_i$ 表示投入 $i$ 的数量，即投入 $i$ 的水平。
• **投入束（an input bundle）**就是投入水平组成的一个向量 $(x_1,x_2,\dots ,x_n)$。例如 $(x_1,x_2,x_3)=(6,0,9.3)$。

生产函数（production function）

• $y$ 表示产出水平。
• 技术的**生产函数（production function）**表示：给定一组投入，所能生产的最大可能产量（maximum amount of output possible）：

$y=f(x_1,\dots ,x_n).$

生产集合（production set）

• 一个**生产计划（production plan）**是投入束和产出水平的组合 $(x_1,\dots ,x_n,y)$。
• 一个生产计划是可行的（feasible），若

$y\le f(x_1,\dots ,x_n).$

• 所有可行的生产计划的集合称为生产集（production set）或技术集合（technology set）：

$T=\{(x_1,\dots ,x_n,y)\mid y\le f(x_1,\dots ,x_n)\text{ 且 }{x}_1\ge 0,\dots ,x_n\ge 0\}.$

• 生产函数曲线是技术集合的”上边界”：给定投入 $x^{\prime }$，产量可以达到 $y^{\prime \prime }\le y^{\prime }=f(x^{\prime })$ 中的任何水平；恰好在边界上（$y^{\prime \prime }=f(x^{\prime })$）的计划是技术有效的，边界以内的（$y^{\prime \prime }<f(x^{\prime })$）是技术低效的——同样的投入本可以生产更多。

多投入技术与等产量线

一个两种投入的例子

设有两种投入 $x_1$ 和 $x_2$，产出水平是 $y$，假设生产函数为

$y=f(x_1,x_2)=2x_1^{1/3}{x}_2^{1/3}.$

• 投入组合 $(x_1,x_2)=(1,8)$ 下的最大产量：

$y=2\times 1^{1/3}\times 8^{1/3}=2\times 1\times 2=4.$

• 投入组合 $(x_1,x_2)=(8,8)$ 下的最大产量：

$y=2\times 8^{1/3}\times 8^{1/3}=2\times 2\times 2=8.$

等产量线（isoquant）与等产量线族

• 产量水平 $y$ 的**等产量线（isoquant）**是所有能够生产出相同产量 $y$ 的投入束的集合。
• 给等产量线图增加一个垂直轴（高度表示产量水平），等产量线就被”抬高”到各自的高度上，形成生产曲面；生产曲面在高度 $y$ 处的等高线投影回 $(x_1,x_2)$ 平面，正是产量为 $y$ 的那条等产量线。
• 等产量线的全部集合即等产量线族（isoquant map），等产量线族就是生产函数的图形表示。

三类重要的生产函数

柯布-道格拉斯技术（Cobb-Douglas）

$y=A{x}_1^{a_1}{x}_2^{a_2}\cdots x_n^{a_n}.$

例如 $y=x_1^{1/3}{x}_2^{1/3}$，其中 $n=2$，$A=1$，$a_1=a_2=\frac{1}{3}$。

• 所有等产量线都是双曲线（hyperbolic），以两条坐标轴为渐近线（asymptoting），但永远不会接触任何一条轴。

固定投入比例技术（fixed proportions，完全互补）

$y=\min \{a_1{x}_1,a_2{x}_2,\dots ,a_n{x}_n\}.$

例如 $y=\min \{x_1,2x_2\}$，其中 $a_1=1$，$a_2=2$。

• 等产量线呈 L 形，折点（肘部）都落在直线 $x_1=2x_2$ 上：图中 $y=4,8,14$ 三条等产量线的折点分别在 $(4,2)$、$(8,4)$、$(14,7)$。
• 直观含义：两种要素必须按固定比例搭配使用，单独增加其中一种（如只把 $x_1$ 从 4 加到 8 而 $x_2$ 仍是 2）完全不增加产量——多余的那份是浪费，类似”完全互补品”。

完全替代技术（perfect substitutes）

$y=a_1{x}_1+a_2{x}_2+\cdots +a_n{x}_n.$

例如 $y=x_1+3x_2$，其中 $a_1=1$，$a_2=3$。

• 等产量线全部是线性且平行的：无论在哪个组合处，1 单位 $x_2$ 恰好总能替代 3 单位 $x_1$，替代比例固定不变。

边际产量（marginal product, MP）

定义

要素 $i$ 的边际产量（marginal product of input $i$）：当其他要素保持不变时，产量水平随要素 $i$ 变化的比率，即

$M{P}_i=\frac{\partial y}{\partial x_i}=\frac{\partial f(x_1,\dots ,x_n)}{\partial x_i}.$

例子：$y=x_1^{1/3}{x}_2^{2/3}$

$M{P}_1=\frac{\partial y}{\partial x_1}=\frac{1}{3}{x}_1^{-2/3}{x}_2^{2/3},M{P}_2=\frac{\partial y}{\partial x_2}=\frac{2}{3}{x}_1^{1/3}{x}_2^{-1/3}.$

一种要素的边际产量取决于另一种要素的投入数量

仍看上例中的 $M{P}_1=\frac{1}{3}{x}_1^{-2/3}{x}_2^{2/3}$：

• 如果 $x_2=8$：

$M{P}_1=\frac{1}{3}{x}_1^{-2/3}\cdot 8^{2/3}=\frac{4}{3}{x}_1^{-2/3}.$

• 而如果 $x_2=27$：

$M{P}_1=\frac{1}{3}{x}_1^{-2/3}\cdot 27^{2/3}=3x_1^{-2/3}.$

其他要素投入越多，同一种要素的边际产量越大。

边际产量递减（diminishing marginal product）

• 要素 $i$ 的边际产量递减：随着要素 $i$ 投入的增加，其边际产量下降，即

$\frac{\partial M{P}_i}{\partial x_i}=\frac{\partial }{\partial x_i}\left(\frac{\partial y}{\partial x_i}\right)=\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x_i^2}<0.$

对例子 $y=x_1^{1/3}{x}_2^{2/3}$ 验证：

$\frac{\partial M{P}_1}{\partial x_1}=-\frac{2}{9}{x}_1^{-5/3}{x}_2^{2/3}<0,\frac{\partial M{P}_2}{\partial x_2}=-\frac{2}{9}{x}_1^{1/3}{x}_2^{-4/3}<0.$

两种要素的边际产量都是递减的。

规模报酬（returns to scale）

• 边际产量描述的是单个要素投入水平变化时的产量变化；规模报酬（returns-to-scale）描述的是所有要素都同比例变化时的产量变化（例如所有要素投入都加倍或减半）。

三种类型

如果对于所有的要素投入束 $(x_1,\dots ,x_n)$：

类型	条件	含义（取 $k=2$）
规模报酬不变（constant returns-to-scale）	$f(k{x}_1,\dots ,k{x}_n)=kf(x_1,\dots ,x_n)$	所有投入加倍，产出恰好加倍
规模报酬递减（diminishing returns-to-scale）	$f(k{x}_1,\dots ,k{x}_n)<kf(x_1,\dots ,x_n)$	所有投入加倍，产出的增加不足两倍
规模报酬递增（increasing returns-to-scale）	$f(k{x}_1,\dots ,k{x}_n)>kf(x_1,\dots ,x_n)$	所有投入加倍，产出的增加超过两倍

• 注意，同一种生产技术可能呈现出不同的规模报酬特征：同一条 $y=f(x)$ 曲线可以在小产量段表现为规模报酬递增、大产量段表现为规模报酬递减。

三类生产函数的规模报酬：前两类”不变”，柯布-道格拉斯看指数和

完全替代生产函数：所有要素投入量都同比例增加 $k$ 倍时，产出水平为

$a_1(k{x}_1)+a_2(k{x}_2)+\cdots +a_n(k{x}_n)=k(a_1{x}_1+a_2{x}_2+\cdots +a_n{x}_n)=ky,$

所以完全替代生产函数是规模报酬不变的。

完全互补（固定比例）生产函数：

$\min \{a_1(k{x}_1),a_2(k{x}_2),\dots ,a_n(k{x}_n)\}=k\left(\min \{a_1{x}_1,a_2{x}_2,\dots ,a_n{x}_n\}\right)=ky,$

所以完全互补生产函数也是规模报酬不变的。

柯布-道格拉斯生产函数 $y=x_1^{a_1}{x}_2^{a_2}\cdots x_n^{a_n}$：

$(k{x}_1{)}^{a_1}(k{x}_2{)}^{a_2}\cdots (k{x}_n{)}^{a_n}=k^{a_1}{k}^{a_2}\cdots k^{a_n}{x}_1^{a_1}{x}_2^{a_2}\cdots x_n^{a_n}=k^{a_1+\cdots +a_n}y.$

因此柯布-道格拉斯生产函数是规模报酬：

• 不变的，如果 $a_1+\cdots +a_n=1$；
• 递增的，如果 $a_1+\cdots +a_n>1$；
• 递减的，如果 $a_1+\cdots +a_n<1$。

规模报酬递增的技术也可以是边际产量递减的

问：规模报酬递增的技术是否可能是边际报酬递减的？答：可以。例如

$y=x_1^{2/3}{x}_2^{2/3}.$

• 指数和 $a_1+a_2=\frac{2}{3}+\frac{2}{3}=\frac{4}{3}>1$，所以是规模报酬递增的；
• 但是 $M{P}_1=\frac{2}{3}{x}_1^{-1/3}{x}_2^{2/3}$ 随 $x_1$ 递减，且 $M{P}_2=\frac{2}{3}{x}_1^{2/3}{x}_2^{-1/3}$ 也随 $x_2$ 递减——对所有的要素都是边际报酬递减。

为什么？边际产品是保持其他要素投入不变时产量对单一要素投入的变化比率。某一种要素单独增加时，与它配合使用的其他要素变得相对少了，所以边际产量递减；而当所有要素都同比例增加时，就不存在这种”配合失调”的情形。

（边际）技术替代率（technical rate of substitution, TRS）

定义

回忆消费者理论中无差异曲线的斜率（MRS）。同样地，等产量线的斜率就是（边际）技术替代率（technical rate-of-substitution, TRS）：当投入要素 1 的水平增加时，为了不改变产出水平而必须放弃要素 2 的速率。

推导

设生产函数为 $y=f(x_1,x_2)$。要素投入量的微小变化 $(d{x}_1,d{x}_2)$ 导致的产量水平变化为：

$dy=\frac{\partial y}{\partial x_1}d{x}_1+\frac{\partial y}{\partial x_2}d{x}_2.$

因为等产量线意味着产量水平不变，即 $dy=0$，所以要素投入量的微小变化 $(d{x}_1,d{x}_2)$ 必须满足

$0=\frac{\partial y}{\partial x_1}d{x}_1+\frac{\partial y}{\partial x_2}d{x}_2,$

移项整理（rearranges to）：

$\frac{\partial y}{\partial x_2}d{x}_2=-\frac{\partial y}{\partial x_1}d{x}_1,$

所以

$TRS=\frac{d{x}_2}{d{x}_1}=-\frac{\partial y/\partial x_1}{\partial y/\partial x_2}=-\frac{M{P}_1}{M{P}_2},$

这就是等产量线的斜率。

柯布-道格拉斯的例子

设 $y=f(x_1,x_2)=x_1^a{x}_2^b$，于是：

$\frac{\partial y}{\partial x_1}=a{x}_1^{a-1}{x}_2^b,\frac{\partial y}{\partial x_2}=b{x}_1^a{x}_2^{b-1},$

边际技术替代率是：

$TRS=-\frac{\partial y/\partial x_1}{\partial y/\partial x_2}=-\frac{a{x}_1^{a-1}{x}_2^b}{b{x}_1^a{x}_2^{b-1}}=-\frac{a{x}_2}{b{x}_1}.$

取具体例子 $y=x_1^{1/3}{x}_2^{2/3}$，即 $a=\frac{1}{3}$、$b=\frac{2}{3}$：

$TRS=-\frac{a{x}_2}{b{x}_1}=-\frac{(1/3)x_2}{(2/3)x_1}=-\frac{x_2}{2x_1}.$

• 在点 $(x_1,x_2)=(4,8)$ 处：

$TRS=-\frac{x_2}{2x_1}=-\frac{8}{2\times 4}=-1.$

• 在点 $(x_1,x_2)=(12,6)$ 处：

$TRS=-\frac{x_2}{2x_1}=-\frac{6}{2\times 12}=-\frac{1}{4}.$

沿等产量线向右下方移动（$x_1$ 增加、$x_2$ 减少），TRS 从 $-1$ 变到 $-\frac{1}{4}$：绝对值变小。

良态技术（well-behaved technology）

**良态技术（a well-behaved technology）**满足如下两个条件：

• 单调性（monotonic）；
• 凸性（convex）。

单调性（monotonicity）

• 单调性：投入越大，产出越高——多多益善，免费的投入不会被浪费。

凸性（convexity）

• 凸性：如果投入要素束 $x^{\prime }$ 和 $x^{\prime \prime }$ 都能生产产量 $y$，那么对于所有的 $0<t<1$，这两个要素束的凸组合

$t{x}^{\prime }+(1-t)x^{\prime \prime }=\left(t{x}_1^{\prime }+(1-t)x_1^{\prime \prime },t{x}_2^{\prime }+(1-t)x_2^{\prime \prime }\right)$

也能生产不低于 $y$ 的产量。

• 凸性意味着：当 $x_1$ 增加时，边际技术替代率 TRS 也增加（负值的绝对值更小）——等产量线凸向原点，越往右越平缓。

长期与短期（the long run and the short runs）

• 长期（long-run）意味着企业可以改变所有的要素投入水平。
• 短期（short-run）意味着至少有一种要素的投入水平无法改变。

短期的现实例子：暂时无法安装或拆除机器设备；法律要求满足本地含量（domestic content）规定等。

短期意味着（如果只有两种要素 1 和 2）：一种要素是固定要素（fixed input），另一种要素是可变要素（variable input）。

短期生产函数的例子

长期生产函数 $y=x_1^{1/3}{x}_2^{1/3}$（$x_1$ 和 $x_2$ 都是可变的）。把 $x_2$ 固定在不同水平上，就得到不同的短期生产函数：

• 当 $x_2\equiv 1$ 时，短期生产函数为

$y=x_1^{1/3}\cdot 1^{1/3}=x_1^{1/3}.$

• 当 $x_2\equiv 10$ 时，短期生产函数为

$y=x_1^{1/3}\cdot 10^{1/3}=2.15x_1^{1/3}.$

同理，取 $x_2=1,2,5,10$，共得到四条短期生产函数：

$y=x_1^{1/3},y=2^{1/3}{x}_1^{1/3},y=5^{1/3}{x}_1^{1/3},y=10^{1/3}{x}_1^{1/3}=2.15x_1^{1/3}.$

固定要素水平越高，同一个 $x_1$ 下的产量就越高——每一条短期生产函数都是长期生产函数乘以一个常数。

课堂练习

1. 假定生产函数为 $f(x_1,x_2)=x_1^2{x}_2^2$，则该生产函数所显示的是规模报酬不变、递增还是递减？
2. 假定一生产函数为 $f(x_1,x_2)=4x_1^{1/2}{x}_2^{1/3}$，则该生产函数所显示的是规模报酬不变、递增还是递减？
3. 柯布-道格拉斯生产函数 $f(x_1,x_2)=A{x}_1^a{x}_2^b$，其规模报酬的情况取决于 $a+b$ 的大小。问与不同规模报酬相应的 $a+b$ 值分别是多少？
4. 要素 $x_2$ 和 $x_1$ 之间的技术替代率为 $-4$。如果你希望所生产的产量保持不变，但 $x_1$ 的使用量又要减少 3 个单位，请问你需要增加多少个单位的 $x_2$？

参考提示（用本章结论即可完成）：

1. 指数和 $2+2=4>1$，规模报酬递增。
2. 指数和 $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}<1$，规模报酬递减。
3. $a+b=1$ 时不变；$a+b>1$ 时递增；$a+b<1$ 时递减。
4. TRS 就是等产量线的斜率 $\frac{d{x}_2}{d{x}_1}=-4$；产量不变要求 $d{x}_2=-4d{x}_1=-4\times (-3)=12$，即 $x_2$ 需增加 12 个单位。

要点速览

• 生产函数 $y=f(x_1,\dots ,x_n)$：给定投入的最大产量；可行计划满足 $y\le f(\cdot )$，可行计划的集合是生产集（技术集合）。
• 等产量线：同一产量水平下所有投入束的集合；等产量线族就是生产函数的图形。
• 三类常用技术：柯布-道格拉斯 $y=A{x}_1^{a_1}\cdots x_n^{a_n}$（双曲线等产量线）；固定比例 $y=\min \{a_1{x}_1,\dots \}$（L 形）；完全替代 $y=a_1{x}_1+\cdots$（直线）。前两类规模报酬不变，柯布-道格拉斯取决于 $a_1+\cdots +a_n$ 与 1 的大小。
• 边际产量 $M{P}_i=\partial y/\partial x_i$，通常递减（${\partial }^{2}y/\partial x_i^2<0$），且取决于其他要素的数量。
• 规模报酬：所有要素同比例变化时产量的变化（不变/递增/递减）；规模报酬递增与边际产量递减可以并存。
• 技术替代率 $TRS=\frac{d{x}_2}{d{x}_1}=-\frac{M{P}_1}{M{P}_2}$，即等产量线的斜率；柯布-道格拉斯技术 $TRS=-\frac{a{x}_2}{b{x}_1}$。
• 良态技术 = 单调性 + 凸性；凸性保证 TRS 随 $x_1$ 增加而增大（负得更少）。
• 长期所有要素可变；短期至少一种要素固定，得到只含可变要素的短期生产函数。

课后作业：见学习通上习题。