中级微观14|消费者剩余

消费者剩余（Consumer’s Surplus）

前面几章讨论的是：在给定消费者偏好或效用的情况下，价格如何影响消费者的需求。这一章反其道而行之：通常我们面临的问题是如何根据消费者的消费行为来估计消费者的偏好或效用——能否从需求看出消费者从交换中得到的好处？能否从需求看出消费者的效用？

消费者剩余（consumer’s surplus）：消费者在市场上购买了一种商品后，他在总体上得到改善的程度。

从交换中得到的利益（效用）有三种货币测度方法：

• 消费者剩余（consumer’s surplus, CS）
• 补偿变化（compensating variation, CV）
• 等价变化（equivalent variation, EV）

一、开篇的例子：保留价格

A、B、C、D 四位同学要买笔记本电脑电池，各自的保留价格分别为 320、310、300、290 元，淘宝网上提供的价格是 300 元。

1. 哪些消费者能得到电池？ 保留价格不低于市场价的 A、B、C 三位。
2. 哪个消费者的效用高？ A——他的保留价格与实际支付之间差距最大（$320-300=20$ 元）。

这个”愿意支付的最高价”与”实际支付价”之间的差额，就是本章的主角。

二、离散商品的保留价格与需求函数

保留价格的定义

假设对商品 $x$ 的购买只能以整数进行。$r_n$ 表示消费者（在已拥有 $n-1$ 单位时）愿意购买第 $n$ 单位商品的保留价格（reservation price）：

• 保留价格是消费者为获取一件商品所愿意支付的最高价格，或者说是使消费者”消费或不消费刚好无差异”的那个价格；
• $r_1$ 是第 1 单位商品边际效用的货币等价物，$r_2$ 是第 2 单位的……$r_n$ 就是第 $n$ 单位商品边际效用的货币等价物；
• 消费者多消费一件商品时的保留价格，实际上就是他从多消费一件商品中所获得的效用增量（边际效用）。

阶梯形需求曲线

例：消费者购买第一单位商品愿意支付 5 元，购买第二单位愿意支付 4 元，第三单位 3 元……保留价格的图像呈”阶梯”形，这就是离散商品的需求曲线：当 $r_n\ge p\ge r_{n+1}$ 时消费者需求 $n$ 单位。由保留价格可以构造出需求函数。

三、由保留价格构造效用函数

保留价格与效用函数

在 $r_1$ 处，消费者刚好在购买零单位或 1 单位商品之间无差异，即

$U(0,m)=U(1,m-r_1)$

在 $r_2$ 处，购买 1 单位或 2 单位无差异：$U(1,m-r_1)=U(2,m-r_1-r_2)$。当效用函数是**拟线性（quasilinear）**函数 $U(x_1,x_2)=v(x_1)+x_2$ 时，上两式化为

$v(1)-v(0)=r_1,v(2)-v(1)=r_2,v(3)-v(2)=r_3,\cdots$

所以保留价格可以用来计量增加一单位商品的消费所引起的效用增量（边际效用）。

保留价格之和＝总效用

由 $r_1=v(1)-v(0)$，$r_2=v(2)-v(1)$，$r_3=v(3)-v(2)$，……逐项相加：

$r_1+r_2+r_3=v(3)-v(0),r_1+r_2+\cdots +r_n=v(n)-v(0)=v(n)(14.2)$

（取 $v(0)=0$。）保留价格的和正好是消费商品 X 的总效用，也是对该商品的消费的支付意愿（willingness to pay）总额。

在图上，这块面积——即需求曲线以下的面积——被称作商品 X 总效用，或消费者总剩余（gross consumer’s surplus），或总福利：

四、消费者剩余

总剩余与净剩余

消费 $n$ 单位商品 X 的净效用是：

$\text{总效用}-\text{总支出}=v(n)-pn$

把消费者在交易中所得的净效用称为消费者剩余（consumer’s surplus）或净消费者剩余（net consumer’s surplus）。消费者剩余是效用的一种测度方法。

用离散阶梯图（动画分步合并）看：总消费者剩余是各单位保留价格”阶梯柱”之和，如买 4 单位时 $V(4)=r_1+r_2+r_3+r_4$；再从中扣去实际支出——高为 $p$ 的支出矩形面积 $p\cdot n$——剩下的部分就是净消费者剩余 $V(n)-p\cdot n$：

数字例：如果商品 x 市场价格为 4，消费者实际购买二单位商品支付 8 元，但他实际上为这二单位商品愿意支付 $5+4=9$ 元，因此消费者在这次交易中净得利益 1 元：

从预算的角度看：消费者最终效用取决于他消费了多少商品 X 和商品 Y。若选择了 $n$ 单位 X，他还剩 $m-pn$ 用于购买其他东西，消费 X 和 Y 的总效用为

$v(n)+y=v(n)+m-pn$

消费者剩余的其它两种解释

1. 保留价格与实付价格之差的总额：$cs=(r_1-p)+(r_2-p)+\cdots +(r_n-p)$；
2. 要消费者放弃对该商品的全部消费而必须补偿给他的货币量 $R$：由 $v(0)+m+R=v(n)+m-pn$ 得

$R=v(n)-pn$

连续需求的消费者剩余的估算

连续（光滑）需求曲线下的面积近似地等于阶梯形需求曲线下的面积；要精确计算，就用微积分的方法。

拟线性偏好下的推导

设 $p_2=1$，效用最大化问题为

${\max }_{x_1,x_2}U(x_1,x_2)=v(x_1)+x_2\text{s.t.}{p}_1{x}_1+x_2=m$

把约束 $x_2=m-p_1{x}_1$ 代入目标函数，得 $v(x_1)+m-p_1{x}_1$：

对其求导并令其为零：

$v^{\prime }(x_1)-p_1=0⟹p_1=v^{\prime }(x_1)$

即反需求函数（inverse demand function）恰好是边际效用函数 $p_1(x_1)=v^{\prime }(x_1)$。于是消费者剩余为需求曲线以下、支出以上的部分：

$CS={\int }_0^{x_1^{\ast }}{v}^{\prime }(x_1)d{x}_1-p_1^{\prime }{x}_1^{\prime }=v(x_1^{\ast })-v(0)-p_1^{\prime }{x}_1^{\prime }$

消费者剩余的变化

当商品 1 的价格发生变化（由 $p_1^{\prime }$ 上升到 $p_1^{\prime \prime }$）后，消费者的总效用和净剩余均会发生变化：变化前的 CS 是价格线 $p_1^{\prime }$ 以上、需求曲线以下的三角形；变化后缩小为 $p_1^{\prime \prime }$ 以上的小三角形；中间损失的梯形称为 Lost CS：

记变化前后消费者各自的最优选择为 $x_1^{\prime }$ 与 $x_1^{\prime \prime }$，则

$CS(p_1^{\prime })=v(x_1^{\prime })-v(0)-p_1^{\prime }{x}_1^{\prime },CS(p_1^{\prime \prime })=v(x_1^{\prime \prime })-v(0)-p_1^{\prime \prime }{x}_1^{\prime \prime }$

$\Delta CS=CS(p_1^{\prime })-CS(p_1^{\prime \prime })=v(x_1^{\prime })-v(x_1^{\prime \prime })-p_1^{\prime }{x}_1^{\prime }+p_1^{\prime \prime }{x}_1^{\prime \prime }$

五、例题

例1 离散保留价格（租房市场）

消费者 A、B、C、D、E、F、G 租公寓的保留价格分别为 400、250、300、350、100、180、150 元。

(1) 若均衡租金为 200 元，消费者 A 的消费者剩余是多少？

保留价格不低于 200 元的是 A(400)、B(250)、C(300)、D(350) 四人，他们租得起。A 的剩余 $=400-200=200$ 元。

(2) 均衡租金 200 元时，市场上消费者总剩余、净剩余各是多少？

总剩余（租户支付意愿总额，即需求曲线下面积）$=400+250+300+350=1300$ 元；实际支出 $=4\times 200=800$ 元；净剩余 $=1300-800=500$ 元。

例2 线性需求

消费者李的需求函数为 $D=100-P$，市场价格为 50。

• 总剩余（需求曲线下面积）$={\int }_0^{50}(100-P)dP=5000-1250=3750$
• 净剩余 $=3750-50\times 50=1250$

例3 小青（拟线性效用全流程）

小青消费商品 X 和其它商品 Y，Y 的价格为 1（或者说以货币形式消费），效用函数为

$u(x,y)=100x-\frac{x^2}{2}+y$

(a) 小青有何种效用函数形式？ 拟线性形式：$v(x)+y$，其中 $v(x)=100x-\frac{x^2}{2}$。

(b) 商品 X 的反需求函数。 $p=v^{\prime }(x)=100-x$。

(c) 收入 4000 元、价格 50 元：最优购买量满足 $100-x=50$，得 $x^{\ast }=50$。

• 商品 X 的总效用 $v(50)=100\times 50-\frac{50^2}{2}=3750$；
• 净消费者剩余 $=3750-50\times 50=1250$；
• 商品 X 和 Y 的总效用 $=v(50)+y=3750+(4000-2500)=5250$。

(d) 价格由 50 升到 80 后，X、Y 总效用变化多少？新最优量 $x^{\ast }=20$，总效用 $=v(20)+(4000-1600)=1800+2400=4200$，比原来下降 1050。

(e) 净消费者剩余变化多少？$CS(50)=1250$；$CS(80)=v(20)-80\times 20=1800-1600=200$，减少 1050。

(d) 与 (e) 结果相等并非巧合：拟线性偏好下，净消费者剩余的变化恰好度量总效用的变化。

六、交换利益的货币测度：CV 与 EV

用货币来测度效用的一般问题是：要使消费者改变消费束，必须给他多少货币才能使他得到补偿？ 这本质上测度的是效用的变化，但用的却是货币单位。除消费者剩余外，还有两种方法。

补偿变化（Compensating Variation, CV）

当 $p_1$ 上升，意味着购买力下降。要使消费者的境况（效用）同他在价格变化前一样好，必须补偿他一定量的货币。 就图形而论：新的预算线必须上移多少才能同经过初始消费点的无差异曲线相切——使消费者回复到他初始无差异曲线上所必须的收入变化，就是收入的补偿变化。

设初始状态为价格 $p_1^{\prime }$、收入 $m_1$（$p_2$ 不变）。涨价到 $p_1^{\prime \prime }$ 后：

• 不补偿时，消费者按新价格花原收入 $m_1$，效用降到 $u_2$（图中绿线，切点 $x_1^{\prime \prime }$）；
• 补偿后收入变为 $m_2$，按新价格恰好回到原效用 $u_1$（图中蓝线，切点 $x_1^{\prime \prime \prime }$）。

$CV=m_2-m_1$

等价变化（Equivalent Variation, EV）

换一个问法：在价格变化前，必须从消费者那里取走一定量的货币，才能使他的境况同他在价格变化以后一样好。 从图形上看：初始预算线（原价格）必须向下移动多少才能恰好与经过新消费束的无差异曲线 $u_2$ 相切。等价变化测试的是消费者为了避免价格变动而愿意付出的最大收入量。

设按原价格 $p_1^{\prime }$ 达到涨价后的效用 $u_2$ 所需的收入为 $m_2$（图中下方红线，切点 $x_1^{\prime \prime \prime }$）：

$EV=m_1-m_2$

注意：两个定义里 $m_2$ 的含义不同——CV 中的 $m_2$ 是新价格下达到 $u_1$ 的收入，EV 中的 $m_2$ 是原价格下降到 $u_2$ 的收入。

CV 与 EV 一般不相等

一般来说，消费者为避免价格变化而愿意付出的货币量（EV），不同于为补偿他受到的价格变化影响而必须支付给他的货币量（CV）；EV 和 CV 的大小取决于无差异曲线切线的斜率（弯曲程度）。

但在拟线性效用下，EV 和 CV 是等同的：对于拟线性偏好来说，两条无差异曲线之间的距离同预算线的斜率无关——无论预算线斜率如何，两条无差异曲线与它们切点的 $x_2$ 向间距总是一样的：

七、拟线性偏好下 CV = EV = ΔCS

当消费者的效用函数是拟线性形式时，上述三种测度方法是一致的。设 $U(x_1,x_2)=v(x_1)+x_2$，$p_1$ 由 $p_1^{\prime }$ 上升到 $p_1^{\prime \prime }$。

ΔCS（前面已得）：

$\Delta CS=v(x_1^{\prime })-v(x_1^{\prime \prime })-p_1^{\prime }{x}_1^{\prime }+p_1^{\prime \prime }{x}_1^{\prime \prime }$

CV 方法：补偿一定货币 $CV$ 后，消费者按新价格 $p_1^{\prime \prime }$ 选择 $x_1^{\prime \prime }$，效用水平与价格变化前一样好：

$v(x_1^{\prime \prime })+m+CV-p_1^{\prime \prime }{x}_1^{\prime \prime }=v(x_1^{\prime })+m-p_1^{\prime }{x}_1^{\prime }$

利用 $p_1^{\prime }=v^{\prime }(x_1^{\prime })$、$p_1^{\prime \prime }=v^{\prime }(x_1^{\prime \prime })$ 解出

$CV=v(x_1^{\prime })-v(x_1^{\prime \prime })-p_1^{\prime }{x}_1^{\prime }+p_1^{\prime \prime }{x}_1^{\prime \prime }=\Delta CS$

EV 方法：在价格变化前从消费者那里取走货币 $EV$，使他的境况同价格变化以后一样好：

$v(x_1^{\prime })+m-EV-p_1^{\prime }{x}_1^{\prime }=v(x_1^{\prime \prime })+m-p_1^{\prime \prime }{x}_1^{\prime \prime }$

$⟹EV=v(x_1^{\prime })-v(x_1^{\prime \prime })-p_1^{\prime }{x}_1^{\prime }+p_1^{\prime \prime }{x}_1^{\prime \prime }=\Delta CS$

结论：拟线性效用函数下

$CV=EV=\Delta CS$

但其它情况下，一般有

$EV<\Delta CS<CV$

八、CV / EV 计算例题

例4 柯布–道格拉斯偏好

一个消费者的效用函数是 $u(x_1,x_2)=x_1^{1/2}{x}_2^{1/2}$，收入是 100，分析价格由 $(1,1)$ 变到 $(2,1)$ 时的补偿变化和等价变化。

参考解答：马歇尔需求 $x_1=\frac{m}{2p_1}$，$x_2=\frac{m}{2p_2}$，间接效用 $v=\frac{m}{2\sqrt{p_1{p}_2}}$，支出函数 $e(p_1,p_2;u)=2u\sqrt{p_1{p}_2}$。

• $v(1,1;100)=50$，$v(2,1;100)=\frac{100}{2\sqrt{2}}\approx 35.36$；
• $CV=e(2,1;50)-100=100\sqrt{2}-100\approx 41.4$；
• $EV=100-e(1,1;35.36)=100-70.7\approx 29.3$。

此处 $CV>EV$，与”一般情况下 $EV<\Delta CS<CV$“一致。

例5 拟线性偏好

$U=x_1^{1/2}+x_2$，初始状态下两种商品价格均为 1，收入为 3，商品 1 的价格提高至 2，补偿变化和等价变化各是多少？

参考解答：反需求 $p_1=\frac{1}{2\sqrt{x_1}}$，故 $x_1^{\ast }=\frac{1}{4p_1^2}$，$CS(p_1)=\sqrt{x_1^{\ast }}-p_1{x}_1^{\ast }=\frac{1}{4p_1}$。于是

$\Delta CS=CS(1)-CS(2)=\frac{1}{4}-\frac{1}{8}=\frac{1}{8}$

由拟线性偏好，$CV=EV=\Delta CS=\frac{1}{8}$。

课堂练习

1. 假设需求函数为 $X(p)=a-bp$，其中 $p$ 代表价格，$a$ 和 $b$ 是常数。当价格从 $p$ 变动到 $q$ 时，消费者剩余的变化为

$\Delta CS={\int }_p^{q}X(t)dt=a(q-p)-\frac{b}{2}(q^2-p^2)$

2. 假定一个消费者有效用函数 $U(x_1,x_2)=x_1^{1/2}{x}_2^{1/2}$，开始面临的价格是 $(1,1)$，全部收入是 100，然后商品 1 的价格上升到 2，问补偿变化和等价变化各是多少？（同例 4。）

九、生产者剩余（Producer’s Surplus）

与消费者剩余对称的是生产者剩余（producer’s surplus）。设厂商的边际成本（marginal cost, MC）曲线如图，价格为 $p^{\prime }$ 时厂商选择产出 $y^{\prime }$（$p^{\prime }=MC$ 处）：

图中：总收益是矩形 $p^{\prime }{y}^{\prime }$；边际成本曲线以下（橙色）的面积是生产 $y^{\prime }$ 的可变成本；二者之差——价格线以下、边际成本曲线以上的绿色面积——就是生产者剩余。

小结

测度方法	问的问题	表达式
消费者剩余变化 $\Delta CS$	需求曲线（反需求 $p=v^{\prime }(x)$）左侧损失的面积	$CS(p_1^{\prime })-CS(p_1^{\prime \prime })$
补偿变化 $CV$	涨价后要补多少钱，才让消费者回到原效用 $u_1$	$m_2-m_1$
等价变化 $EV$	原价格下消费者最多愿出多少钱避免这次涨价	$m_1-m_2$

• 保留价格之和等于总效用：$r_1+\cdots +r_n=v(n)$（14.2）；需求曲线下面积＝总效用（总剩余）。
• 净消费者剩余 $=$ 总效用 − 总支出 $=v(n)-pn$。
• 一般情况：$EV<\Delta CS<CV$；拟线性偏好：$CV=EV=\Delta CS$——因为两条无差异曲线之间的距离与预算线斜率无关。