中级微观06｜需求

教材：Varian, Intermediate Microeconomics: A Modern Approach（中译《微观经济学：现代观点》）第 6 章 Demand。

本章做需求的比较静态分析（comparative statics）：需求函数为 $x_1^{\ast }(p_1,p_2,y)$ 与 $x_2^{\ast }(p_1,p_2,y)$，考察当价格 $p_1,p_2$ 和收入 $y$ 变化时，最优消费束如何变化。方法只有一个：固定其他变量，让一个变量动，观察最优点（预算线与无差异曲线的切点或角点）的移动轨迹。

一、自身价格变化：价格提供曲线与需求曲线

固定 $p_2$ 和 $y$，让 $p_1$ 从 $p_1^{\prime }$ 增加到 $p_1^{\prime \prime }$、再到 $p_1^{\prime \prime \prime }$：

• 预算线 $p_1{x}_1+p_2{x}_2=y$ 的纵截距 $y/p_2$ 不动，斜率随 $p_1$ 上升而变陡，预算线绕纵截距点向内转动；
• 每个价格对应一个效用最大化的最优消费束（图中切点）。

把所有最优消费束连起来，得到 $p_1$ 的价格提供曲线（price offer curve）：在给定 $p_2$ 和 $y$ 的条件下，能够最大化效用的所有消费束组成的曲线。

再把每个价格 $p_1$ 与对应的需求量 $x_1^{\ast }(p_1)$ 画到 $(x_1^{\ast },p_1)$ 平面上，就得到商品 1 的一般性（普通）需求曲线（ordinary demand curve）。

1.1 柯布-道格拉斯偏好的例子

设 $U(x_1,x_2)=x_1^a{x}_2^b$，普通需求函数为

$x_1^{\ast }(p_1,p_2,y)=\frac{ay}{(a+b)p_1},x_2^{\ast }(p_1,p_2,y)=\frac{by}{(a+b)p_2}.$

关键观察：$x_2^{\ast }$ 不含 $p_1$——它不随商品 1 的价格变化。所以 $p_1$ 变化时最优束始终位于水平线 $x_2^{\ast }=\frac{by}{(a+b)p_2}$ 上，价格提供曲线是水平线（flat）；而商品 1 的需求曲线 $x_1^{\ast }=\frac{ay}{(a+b)p_1}$ 是直角双曲线（rectangular hyperbola）。

1.2 完全互补偏好的例子

设 $U(x_1,x_2)=\min \{x_1,x_2\}$，普通需求函数为

$x_1^{\ast }=x_2^{\ast }=\frac{y}{p_1+p_2}.$

$p_2$、$y$ 固定时，$p_1$ 越高，$x_1^{\ast }$ 与 $x_2^{\ast }$ 都越小。取两个极限：

• 当 $p_1\to 0$：$x_1^{\ast }\to \frac{y}{p_2}$；
• 当 $p_1\to \infty$：$x_1^{\ast }\to 0$。

价格提供曲线是从原点出发的对角线（$x_1=x_2$）；需求曲线 $x_1^{\ast }=\frac{y}{p_1+p_2}$ 随 $p_1$ 下降，趋向渐近线 $y/p_2$。

1.3 完全替代偏好的例子

设 $U(x_1,x_2)=x_1+x_2$，普通需求函数是分段的：

$x_1^{\ast }(p_1,p_2,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{y}{p_1},& p_1<p_2\\ \text{任意}\in \left[0,\frac{y}{p_1}\right],& p_1=p_2\\ 0,& p_1>p_2\end{array}{x}_2^{\ast }(p_1,p_2,y)=\{\begin{array}{ll}0,& p_1<p_2\\ \text{任意},& p_1=p_2\\ \frac{y}{p_2},& p_1>p_2\end{array}$

即消费者只买”性价比高”的那种商品：$p_1<p_2$ 时全部收入买商品 1（角点 $(y/p_1,0)$）；$p_1>p_2$ 时全部买商品 2（角点 $(0,y/p_2)$）；$p_1=p_2$（取 $p_1^{\prime \prime }=p_2$）时整条预算线上的束都最优，$0\le x_1^{\ast }\le y/p_2$。

价格提供曲线因此是：沿横轴的一段（$p_1<p_2$ 的角点轨迹）+ 在 $p_1=p_2$ 处折向整条预算线段，直到纵轴角点 $(0,y/p_2)$。需求曲线在 $p_1<p_2$ 段是 $x_1^{\ast }=y/p_1$（双曲线一支），在 $p_1=p_2$ 处是一段垂直需求（数量不确定），$p_1>p_2$ 后为 $0$。

二、反需求函数

通常我们问：“给定商品 1 的价格，需求量是多少？“——这是需求函数。反问题是：“给定商品 1 的需求量 $x_1^{\prime }$，它的价格是多少？“——把价格看作需求量的函数，就是反需求函数（inverse demand function） $p_1(x_1)$。同一条曲线，换个方向读：从纵轴找 $p_1^{\prime }$ 对应 $x_1^{\ast }$，或从横轴找 $x_1^{\prime }$ 对应 $p_1^{\prime }$。

两个例子（由需求函数反解 $p_1$）：

• 柯布-道格拉斯：由 $x_1^{\ast }=\frac{ay}{(a+b)p_1}$ 反解得 $p_1=\frac{ay}{(a+b)x_1^{\ast }}$；
• 完全互补：由 $x_1^{\ast }=\frac{y}{p_1+p_2}$ 反解得 $p_1=\frac{y}{x_1^{\ast }}-p_2$。

三、收入变化：收入提供曲线与恩格尔曲线

固定 $p_1$ 和 $p_2$，让收入从 $y^{\prime }$ 增加到 $y^{\prime \prime }$、$y^{\prime \prime \prime }$（$y^{\prime }<y^{\prime \prime }<y^{\prime \prime \prime }$）：预算线平行向外移动，每个收入水平对应一个最优消费束。

• 最优消费束的轨迹称为收入提供曲线（income offer curve）（课件亦译”收入供给曲线”）；
• 需求量与收入之间的函数关系称为恩格尔曲线（Engel curve）：对每一个收入 $y$，从收入提供曲线上读出 $x_1^{\ast }(y)$（商品 1 的恩格尔曲线）和 $x_2^{\ast }(y)$（商品 2 的恩格尔曲线）。

3.1 柯布-道格拉斯偏好的恩格尔曲线

由 $x_1^{\ast }=\frac{ay}{(a+b)p_1}$，$x_2^{\ast }=\frac{by}{(a+b)p_2}$，把 $y$ 解出来：

$y=\frac{(a+b)p_1}{a}{x}_1^{\ast }\text{（good 1 的恩格尔曲线）},y=\frac{(a+b)p_2}{b}{x}_2^{\ast }\text{（good 2 的恩格尔曲线）}.$

两者都是过原点的直线。

3.2 完全互补偏好的恩格尔曲线

由 $x_1^{\ast }=x_2^{\ast }=\frac{y}{p_1+p_2}$ 反解：

$y=(p_1+p_2)x_1^{\ast }\text{（good 1）},y=(p_1+p_2)x_2^{\ast }\text{（good 2）}.$

也都是过原点的直线；收入提供曲线是对角线（最优束始终在 $x_1=x_2$ 上）。

3.3 完全替代偏好的恩格尔曲线

设 $p_1<p_2$（消费者只买商品 1）：$x_1^{\ast }=\frac{y}{p_1}$，$x_2^{\ast }=0$。于是

• 商品 1 的恩格尔曲线：$y=p_1{x}_1^{\ast }$，过原点、斜率为 $p_1$ 的直线；
• 商品 2 的恩格尔曲线：$x_2^{\ast }\equiv 0$，与纵轴重合（需求永远是零）。

四、恩格尔曲线什么时候是直线？

之前的恩格尔曲线都是直的。问：各种偏好的恩格尔曲线都是直线的吗？答：不是。 只有当偏好是**相似偏好（homothetic preferences，又译位似偏好）**时，恩格尔曲线才是直线。

4.1 相似偏好（位似偏好）

偏好是相似偏好，当且仅当：

$(x_1,x_2)\succ (y_1,y_2)⟹(k{x}_1,k{x}_2)\succ (k{y}_1,k{y}_2),\text{对每个 }k>0.$

这意味着消费者的边际替代率 MRS 在任何从原点出发的射线上都相等。前面三种偏好（柯布-道格拉斯、完全互补、完全替代）都满足相似偏好，所以恩格尔曲线都是过原点的直线。

4.2 拟线性偏好：一个非相似偏好的例子

**拟线性偏好（quasilinear preferences）**不是相似偏好，其形式为

$U(x_1,x_2)=f(x_1)+x_2,\text{例如 }U(x_1,x_2)=\sqrt{x_1}+x_2.$

其无差异曲线的特点：每条曲线都是其他曲线的垂直平移副本，且每条曲线与两条坐标轴都相交。

由于无差异曲线只是垂直平移，斜率相同的切点位于同一垂直线 $x_1={\tilde{x}}_1$ 上：收入变化时，商品 1 的最优消费量 ${\tilde{x}}_1$ 不变，多余的收入全部花在商品 2 上。因此：

• 商品 1 的恩格尔曲线：收入较低（买不起 ${\tilde{x}}_1$）时 $x_1=y/p_1$ 沿直线上升；越过门槛后变成过 ${\tilde{x}}_1$ 的垂直线；
• 商品 2 的恩格尔曲线：先是 $x_2=0$（贴着纵轴），之后是斜率为 1 的直线 $x_2=y-p_1{\tilde{x}}_1$。

五、收入效应：正常商品与低档商品

• 若一个商品的需求量随收入提高而增加，它就是正常商品（normal good）；正常商品的恩格尔曲线斜率为正。
• 若一个商品的需求量随收入提高而减少，它就是低档商品（inferior good；课件称 income inferior，劣等品/低档品）；其恩格尔曲线斜率为负。

两种商品都是正常商品时，收入提供曲线是向右上方倾斜的直线型射线，两条恩格尔曲线都向上倾斜。

也可能出现：商品 2 是正常商品，而商品 1 在收入较高之后变成低档商品——收入再增加时，消费者反而少买商品 1（比如从普通大米转向更贵的食品）。此时收入提供曲线向后弯曲：商品 2 的恩格尔曲线始终向上，商品 1 的恩格尔曲线先升后向回弯（斜率由正转负）。

六、自身价格效应：普通商品与吉芬商品

• 若一个商品的需求量随其自身价格上升而减少，它就是普通商品（ordinary good）：需求曲线向下倾斜 $⟺$ 商品 1 是普通的（ordinary）。
• 若一个商品的需求量随其自身价格上升而增加，它就是吉芬商品（Giffen good）：需求曲线有一段向右上倾斜的部分。

对应的 $p_1$ 价格提供曲线形状也不同：普通商品的价格提供曲线随 $p_1$ 上升向左上方延伸（需求量减小）；吉芬商品的价格提供曲线上，价格更高的切点反而位于更靠右的位置（需求量更大）。

注意两对概念的维度不同：正常/低档看收入变化（恩格尔曲线的斜率），普通/吉芬看自身价格变化（需求曲线的斜率），二者互不重合。

七、交叉价格效应（Cross-Price Effects）

看商品 2 的价格 $p_2$ 变化对商品 1 需求的影响：

• 若 $p_2$ 增加使商品 1 的需求增加，则商品 1 和商品 2 是总替代关系（gross substitutes）；
• 若 $p_2$ 增加使商品 1 的需求减少，则商品 1 和商品 2 是总互补关系（gross complements）。

7.1 完全互补的例子：总互补

完全互补时 $x_1^{\ast }=\frac{y}{p_1+p_2}$，对 $p_2$ 求偏导：

$\frac{\partial x_1^{\ast }}{\partial p_2}=-\frac{y}{(p_1+p_2{)}^2}<0.$

所以商品 2 是商品 1 的总互补（gross complement）。几何表现：$p_2$ 从 $p_2^{\prime }$ 提高到 $p_2^{\prime \prime }$，预算线绕纵截距 $y/p_2$ 向内转，每一个 $p_1$ 水平下的需求量都变小，商品 1 的需求曲线整体向内（左）移动。

7.2 柯布-道格拉斯的例子：既非替代也非互补

柯布-道格拉斯偏好下 $x_2^{\ast }=\frac{by}{(a+b)p_2}$，不含 $p_1$，因此

$\frac{\partial x_2^{\ast }}{\partial p_1}=0.$

所以商品 1 既不是商品 2 的总互补，也不是商品 2 的总替代——另一商品的价格变化对它的需求毫无影响（这正是”价格提供曲线是水平线”的另一面）。

八、三种典型偏好小结

	柯布-道格拉斯 $U=x_1^a{x}_2^b$	完全互补 $U=\min \{x_1,x_2\}$	完全替代 $U=x_1+x_2$
普通需求	$x_1^{\ast }=\frac{ay}{(a+b)p_1}$，$x_2^{\ast }=\frac{by}{(a+b)p_2}$	$x_1^{\ast }=x_2^{\ast }=\frac{y}{p_1+p_2}$	$p_1<p_2$：$x_1^{\ast }=\frac{y}{p_1}$，$x_2^{\ast }=0$；$p_1>p_2$：$x_1^{\ast }=0$，$x_2^{\ast }=\frac{y}{p_2}$；$p_1=p_2$：整条预算线
$p_1$ 价格提供曲线	水平线（$x_2^{\ast }$ 与 $p_1$ 无关）	从原点出发的对角线	横轴一段 + $p_1=p_2$ 时的预算线段
商品 1 需求曲线	直角双曲线	双曲线形，渐近 $y/p_2$	$y/p_1$ 双曲线段，在 $p_1=p_2$ 有垂直段后落回 0
恩格尔曲线	过原点直线：$y=\frac{(a+b)p_1}{a}{x}_1^{\ast }$，$y=\frac{(a+b)p_2}{b}{x}_2^{\ast }$	过原点直线：$y=(p_1+p_2)x_i^{\ast }$	$y=p_1{x}_1^{\ast }$ 直线；$x_2^{\ast }\equiv 0$
交叉价格效应	$\frac{\partial x_2^{\ast }}{\partial p_1}=0$（既非替代也非互补）	$\frac{\partial x_1^{\ast }}{\partial p_2}<0$（总互补）	——
偏好类型	相似偏好	相似偏好	相似偏好（拟线性偏好则不是，恩格尔曲线出现拐折/垂直段）