中级微观05｜选择

教材：Varian, Intermediate Microeconomics: A Modern Approach, 8th ed. 第 5 章 Choice（选择）。

本章要点：最优选择（optimal choice） 的两个条件——花光预算与相切条件；一般性需求（ordinary demand） 的求解（柯布-道格拉斯、完全替代、完全互补、非凸偏好四类例子）；从量税与所得税的比较。

一、经济理性与约束下的选择

经济理性：消费者从所有可行的选择构成的**选择集（choice set）中，选出他最偏好（most preferred）**的消费束。给定价格 $p_1,p_2$ 和收入 $m$，可行选择就是预算集里的消费束。问题是：消费者最偏好的可行选择是哪一个？

直觉一（三维图）：把效用画成一座”山丘”——横轴 $x_1,x_2$，竖轴是效用（utility）。预算线躺在底面上；沿着预算线走，效用先上升后下降，最高处对应的正是预算线上的一个点。

直觉二（二维无差异曲线族）：把效用山俯视成无差异曲线族。最优选择既在预算线上（可负担），又处在可达的最高无差异曲线上。

二、一般性需求

消费者最偏好的可行消费束称为给定价格与收入条件下的一般性需求（ordinary demand），记作

$x_1^{\ast }(p_1,p_2,m),x_2^{\ast }(p_1,p_2,m).$

当 $x_1^{\ast }>0$ 且 $x_2^{\ast }>0$ 时，需求消费束是内点解（interior solution）；若购买 $(x_1^{\ast },x_2^{\ast })$ 恰好花费全部收入 $m$，就称预算被花光（the budget is exhausted）。

内点最优的两个条件

当 $x_1^{\ast }>0$、$x_2^{\ast }>0$，且无差异曲线没有扭折（kink）时，最优消费束 $(x_1^{\ast },x_2^{\ast })$ 满足两个条件：

(a) 花光预算（预算约束，budget constraint）：

$p_1{x}_1^{\ast }+p_2{x}_2^{\ast }=m.$

(b) 相切条件（tangency condition）： 预算线的斜率 $-p_1/p_2$，与过 $(x_1^{\ast },x_2^{\ast })$ 的无差异曲线在该点的斜率相等，即边际替代率（marginal rate of substitution, MRS）等于价格之比的相反数：

$\mathrm{MRS}=-\frac{p_1}{p_2}.$

直观理解：(a) 说明”不浪费”——单调偏好下，剩下的钱总能换成更偏好的消费束；(b) 说明”心理兑换比率 = 市场兑换比率”——消费者愿意用商品 2 换商品 1 的比率恰好等于市场上两者的交换比率，任何偏离都存在改进空间。

注意：这两个条件是内点最优的必要条件；在角点解、扭折解、非凸偏好等情形会失效，见下文第四、五节。

三、计算一般性需求：柯布-道格拉斯偏好

设消费者具有柯布-道格拉斯偏好（Cobb-Douglas preferences）：

$U(x_1,x_2)=x_1^a{x}_2^b.$

第一步：边际效用。

$M{U}_1=\frac{\partial U}{\partial x_1}=a{x}_1^{a-1}{x}_2^b,M{U}_2=\frac{\partial U}{\partial x_2}=b{x}_1^a{x}_2^{b-1}.$

第二步：边际替代率。

$\mathrm{MRS}=-\frac{M{U}_1}{M{U}_2}=-\frac{a{x}_1^{a-1}{x}_2^b}{b{x}_1^a{x}_2^{b-1}}=-\frac{a{x}_2}{b{x}_1}.$

第三步：令 MRS 等于价格比。 在 $(x_1^{\ast },x_2^{\ast })$ 处 $\mathrm{MRS}=-p_1/p_2$，故

$\frac{a{x}_2^{\ast }}{b{x}_1^{\ast }}=\frac{p_1}{p_2}⟹x_2^{\ast }=\frac{b{p}_1}{a{p}_2}{x}_1^{\ast }.(A)$

第四步：联立预算约束。 $(x_1^{\ast },x_2^{\ast })$ 还要花光预算：

$p_1{x}_1^{\ast }+p_2{x}_2^{\ast }=m.(B)$

把 (A) 代入 (B)：

$p_1{x}_1^{\ast }+p_2\cdot \frac{b{p}_1}{a{p}_2}{x}_1^{\ast }=m⟹p_1{x}_1^{\ast }(1+\frac{b}{a})=m.$

解出柯布-道格拉斯需求函数：

$x_1^{\ast }=\frac{a}{a+b}\cdot \frac{m}{p_1},x_2^{\ast }=\frac{b}{a+b}\cdot \frac{m}{p_2}.$

直观结论：柯布-道格拉斯消费者把收入的固定比例花在每种商品上——商品 1 占 $\frac{a}{a+b}$，商品 2 占 $\frac{b}{a+b}$，与价格绝对水平无关，只取决于偏好参数。

四、角点解

若 $x_1^{\ast }=0$ 或 $x_2^{\ast }=0$，最优消费束落在预算线的端点上，称为角点解（corner solution）：它是在预算约束下使效用最大的可行消费束，但切点条件不再成立（MRS 与价格比不相等，或根本无定义）。典型情形如下。

完全替代的情形

设 $U(x_1,x_2)=x_1+x_2$，无差异曲线是斜率为 $-1$ 的直线：处处 $\mathrm{MRS}=-1$（课件此节把收入记作 $y$）。

比较 $\mathrm{MRS}$ 与预算线斜率 $-p_1/p_2$，消费者把钱全部花在”每一元能买到更多效用”的那种商品上：

• 若 $p_1>p_2$：商品 2 便宜，全部收入买商品 2： $(x_1^{\ast },x_2^{\ast })=(0,\frac{y}{p_2}).$

• 若 $p_1<p_2$：商品 1 便宜，全部收入买商品 1： $(x_1^{\ast },x_2^{\ast })=(\frac{y}{p_1},0).$

• 若 $p_1=p_2$：预算线与某条无差异曲线重合，预算线上所有消费束都同样最优，最优选择不唯一。

合并写成：

$(x_1^{\ast },x_2^{\ast })=\{\begin{array}{ll}(0,\frac{y}{p_2}),& p_1>p_2,\\ (\frac{y}{p_1},0),& p_1<p_2.\end{array}$

非凸偏好的情形

偏好**非凸（non-convex）**时，即使预算线与某条无差异曲线相切，切点也未必是预算下效用最大的点。课件例子显示：“切点解（tangency solution）“不是最偏好的可行消费束——最优选择反而落在预算线的端点（角点）上。

五、扭折解：完全互补的情形

设 $U(x_1,x_2)=\min \{a{x}_1,x_2\}$。无差异曲线呈 L 形，**扭折点（kink）**都落在直线 $x_2=a{x}_1$ 上。沿一条无差异曲线：

• 水平段：$\mathrm{MRS}=0$；
• 垂直段：$\mathrm{MRS}=-\infty$；
• 扭折点处：MRS 无定义（undefined）。

扭折点处切点条件无从谈起，但最优选择仍可解：消费者恰好按固定比例搭配两种商品，最优消费束就在预算线与扭折线 $x_2=a{x}_1$ 的交点处。

最优选择 $(x_1^{\ast },x_2^{\ast })$ 满足两个条件：

(a) 花光预算：$p_1{x}_1^{\ast }+p_2{x}_2^{\ast }=m$； (b) 比例条件：$x_2^{\ast }=a{x}_1^{\ast }$。

把 (b) 代入 (a)：

$p_1{x}_1^{\ast }+p_{2}a{x}_1^{\ast }=m⟹x_1^{\ast }=\frac{m}{p_1+a{p}_2},x_2^{\ast }=\frac{am}{p_1+a{p}_2}.$

直观解释：把「1 单位商品 1 + $a$ 单位商品 2」看成一个”整体组合”，其价格为 $p_1+a{p}_2$；收入 $m$ 恰好能买 $\frac{m}{p_1+a{p}_2}$ 个组合——这正是上面的解。

六、税收对消费者选择的影响

问题：政府打算征收给定数额的税收，应该选择直接税还是间接税？

设初始预算约束（budget constraint）为

$p_1{x}_1+p_2{x}_2=m.$

从量税（quantity tax）：对商品 1 按数量征税，税率 $t$。

• 预算约束变为：$(p_1+t)x_1+p_2{x}_2=m$；
• 此时消费者的最优选择 $(x_1^{\ast },x_2^{\ast })$ 满足：$(p_1+t)x_1^{\ast }+p_2{x}_2^{\ast }=m$；
• 政府的税收收入：$R^{\ast }=t{x}_1^{\ast }$。

所得税（income tax）：若改征同样多的收入 $R^{\ast }$，预算约束变为

$p_1{x}_1+p_2{x}_2=m-R^{\ast }=m-t{x}_1^{\ast }.$

比较两条预算线：所得税下的预算线斜率仍是 $-p_1/p_2$，并且恰好穿过从量税下的最优选择 $(x_1^{\ast },x_2^{\ast })$（因为 $p_1{x}_1^{\ast }+p_2{x}_2^{\ast }=m-t{x}_1^{\ast }$ 正好成立）。于是所得税预算线上还存在比 $(x_1^{\ast },x_2^{\ast })$ 更偏好的可行消费束。

结论：征同样的税，所得税下消费者能达到的效用高于从量税——就筹集既定收入而言，直接税对消费者的代价更小。

七、小结

• 最优选择 = 可负担集合中最偏好的消费束，即一般性需求 $x_1^{\ast }(p_1,p_2,m)$、$x_2^{\ast }(p_1,p_2,m)$。
• 内点解的两个条件：花光预算 $p_1{x}_1^{\ast }+p_2{x}_2^{\ast }=m$，以及相切 $\mathrm{MRS}=-p_1/p_2$。
• 柯布-道格拉斯：$x_1^{\ast }=\frac{a}{a+b}\frac{m}{p_1}$，$x_2^{\ast }=\frac{b}{a+b}\frac{m}{p_2}$，收入份额固定。
• 完全替代 → 角点解：全买较便宜的那种商品；$p_1=p_2$ 时整条预算线都是最优。
• 完全互补 → 扭折解：$x_1^{\ast }=\frac{m}{p_1+a{p}_2}$，$x_2^{\ast }=\frac{am}{p_1+a{p}_2}$。
• 非凸偏好 → 切点可能不是最优，最优在角点。
• 征收相同收入时，所得税优于从量税（对消费者而言）。