中级微观03|偏好

中级微观03|偏好（Preferences）

Varian《中级微观经济学》第 3 章课件整理。上一章 预算约束 解决了”能买什么”，本章解决”想要什么”——如何描述消费者的偏好（preferences）。

从理性假设到偏好

行为假定（behavioral postulate）：一个决策者总是从他的可行集中选择他最中意（most preferred）的选择。

因此，要构建消费者选择的模型，就必须首先构建消费者偏好的模型——即回答”消费者如何对不同的消费束排序”。

偏好关系

三种偏好关系

比较两个不同的消费束（bundle）$x$ 和 $y$，只存在三种可能的偏好关系：

• 严格偏好（strict preference）：$x\succ y$，表示消费束 $x$ 严格优于 $y$（x is more preferred than y）；
• 弱偏好（weak preference）：$x\succsim y$，表示 $x$ 至少和 $y$ 一样好（x is at least as preferred as y，即 x 不比 y 差）；
• 无差异（indifference）：$x\sim y$，表示 $x$ 和 $y$ 恰好同样好。

这三种关系是序数关系（ordinal relations）：偏好关系只说明消费束的偏好顺序，不涉及”好多少”的量化——这与基数效用（cardinal utility）形成对照。

符号之间的关系

• $x\succsim y$ 且 $y\succsim x$，则 $x\sim y$（互不占优即无差异）；
• $x\succsim y$ 且非 $y\succsim x$，则 $x\succ y$（弱偏好排除反向弱偏好，即严格偏好）。

关于偏好关系的公理性假设

完全性（Completeness）

任意两个消费束 $x$ 和 $y$ 之间必然存在某种可比较的关系：

$x\succsim y\text{或}y\succsim x$

即消费者总能对任意两个消费束表态（包括”无所谓” $x\sim y$ 的情形）。

反身性（Reflexivity）

任何消费束都至少和它自身一样好：

$x\succsim x$

传递性（Transitivity）

$x\succsim y\text{且}y\succsim z⟹x\succsim z$

若 x 不比 y 差，且 y 不比 z 差，则 x 不比 z 差。传递性保证偏好可以排出一致的顺序，是”理性”的核心成分。

无差异曲线（Indifference Curves）

定义

取一个参考消费束 $x^{\prime }$，所有与 $x^{\prime }$ 无差异的消费束 $y$（即 $y\sim x^{\prime }$ 的全体）构成过 $x^{\prime }$ 的无差异曲线。由于它并不总是”曲线”（如后面会看到的直线、折线、离散点集），更准确的名字或许是无差异集合（indifference set）。

更高的曲线更受偏好

无差异曲线只给出”同样好”的点；要比较不同曲线上的点，看位置：同一条曲线右上方（或更高处）的消费束更受偏好。

把整个平面铺满无差异曲线，就得到无差异曲线族：离原点越远的曲线代表越高的偏好水平。

弱偏好集与严格偏好集

以消费束 $x$ 为参照可以划出三个集合：

• 弱偏好集 $WP(x)$：弱偏好于 $x$ 的所有消费束，即 $WP(x)=\{y:y\succsim x\}$，它包含过 $x$ 的无差异曲线 $I(x)$；
• 严格偏好集 $SP(x)$：严格偏好于 $x$ 的所有消费束，即 $SP(x)=\{y:y\succ x\}$，它不包含 $I(x)$；
• 无差异曲线 $I(x)=\{y:y\sim x\}$ 是两者的分界线。

无差异曲线不能相交（证明）

结论：表示同一偏好的无差异曲线两两不相交。

反证法：假设两条无差异曲线 $I_1$、$I_2$ 相交于点 $x$。取 $I_1$ 上的点 $y$ 和 $I_2$ 上的点 $z$：

1. 由 $x,y$ 同在 $I_1$：$x\sim y$；
2. 由 $x,z$ 同在 $I_2$：$x\sim z$；
3. 由传递性：$y\sim z$。

但从图中位置看，$y$ 位于 $z$ 的右上方，应有 $y\succ z$——与 $y\sim z$ 矛盾。所以无差异曲线不可能相交。

无差异曲线的斜率：好商品与厌恶品

• 好商品（good）：对消费者而言越多越好的商品。若两种商品都是好商品，减少一种就必须增加另一种来补偿，无差异曲线斜率为负（negatively sloped）。

• 厌恶品（bad）：越少越好的商品。一个好商品搭配一个厌恶品时，多消费厌恶品需要更多好商品来补偿，无差异曲线斜率为正（positively sloped）。

无差异曲线的典型形状

完全替代品（Perfect Substitutes）

如果消费者总是把商品 1 和商品 2 视为等价的（1:1 互换），这两个商品就是完全替代品。此时决定偏好水平的是两商品数量之和 $x_1+x_2$，无差异曲线是斜率恒为 $-1$ 的直线。

下图中 $I_1$ 上的消费束总量为 8，$I_2$ 上的总量为 15，后者整体严格优于前者。

完全互补品（Perfect Complements）

如果消费者总是以固定比例消费两种商品（fixed proportion，如 1:1 配对使用——左鞋和右鞋），这两个商品就是完全互补品。决定偏好水平的是能配对使用的数量（即 $\min (x_1,x_2)$）。

无差异曲线呈 L 形，拐点落在 $45°$ 线上：$(5,5)$、$(5,9)$、$(9,5)$ 都只含 5 对，因此同等偏好；而 $(9,9)$ 含 9 对，严格优于它们。多余的单只（如 $(5,9)$ 中的 4 只商品 2）不增加任何偏好水平。

中性品（Neutral Goods）

如果消费者完全不在乎商品 2（$x_2$ 是中性品），偏好只由 $x_1$ 决定，无差异曲线是竖直直线——同一条竖线上无论 $x_2$ 多少都无差异，$x_1$ 越大越受偏好。

餍足点（Satiation Point）

若某个消费束严格优于其他一切消费束，它就是餍足点（satiation point）或极乐点（bliss point）。

存在餍足点时，无差异曲线变成围绕餍足点的封闭曲线，“更好”的方向指向餍足点：越靠近餍足点越好，过犹不及——从餍足点向任何方向走得太远，都会落入更差的区域（某些商品在靠近餍足点后变成了”过多即坏”的东西）。

离散商品（Discrete Goods）

• 商品是**无限可分（infinitely divisible）**的，若它可以用任意数量获得，如水、奶酪；
• 商品是**离散（discrete）**的，若它只能以 1、2、3、… 的整数单位出现，如飞机、轮船、冰箱。

设商品 2（汽油）无限可分而商品 1（飞机）离散，则无差异”曲线”退化为离散点的集合：每个整数 $x_1$ 值上有一串无差异的点。

良态偏好（Well-Behaved Preferences）

对好商品而言，偏好关系若满足以下两条，就称为**良态（well-behaved）**的：单调（monotonic）且凸（convex）。

单调性（Monotonicity）

单调递增（monotonic and increasing）：任何商品越多越好——即不存在餍足点，且每种商品都是好商品。几何含义：右上方（东北方向）总是更受偏好，从而无差异曲线斜率为负。

凸性（Convexity）

凸性：两个消费束的凸组合（平均）至少弱偏好于原来的消费束——“平均优于极端”。

例如 $x$ 和 $y$ 的 50-50 混合为

$z=0.5x+0.5y$

凸性要求 $z\succsim x$ 且 $z\succsim y$（下图的例子中 $z$ 严格优于 $x$ 和 $y$）。

一般地，对任意权重 $0<t<1$，混合束

$z=(t{x}_1+(1-t)y_1,t{x}_2+(1-t)y_2)$

都应弱偏好于 $x$ 和 $y$。

按混合结果的强弱可细分：

• 严格凸（strictly convex）：所有混合束 $z$ 都严格优于成分束 $x$ 和 $y$——无差异曲线是严格弯向原点的平滑曲线；
• 弱凸（weakly convex）：至少存在一个混合束 $z$ 与成分束同等偏好——无差异曲线上出现平坦段（如完全替代是弱凸的极端例子）；
• 非凸（nonconvex）：混合束 $z$ 反而劣于 $x$ 和 $y$——“平均不如极端”，偏好明显偏向极端的消费结构。

边际替代率（MRS）

定义

无差异曲线的斜率有一个专门的名字：边际替代率（marginal rate of substitution, MRS）。MRS 在 $x^{\prime }$ 处的取值就是无差异曲线在 $x^{\prime }$ 点的斜率，用极限表示：

$MRS={\lim }_{\Delta x_1\to 0}\frac{\Delta x_2}{\Delta x_1}=\frac{d{x}_2}{d{x}_1}\text{（在 }x‘\text{ 处）}$

由 $d{x}_2=MRS\cdot d{x}_1$ 可读出它的经济含义：MRS 是消费者”恰好愿意”用商品 2 交换少量商品 1 的比率——为了多得到 $d{x}_1$ 这么一点商品 1，消费者愿意放弃 $|MRS|\cdot d{x}_1$ 的商品 2，且交换后效用（恰好）不变。

MRS 的符号与斜率

• 两种好商品：无差异曲线负斜率，故 $MRS<0$；
• 一个好商品、一个厌恶品：无差异曲线正斜率，故 $MRS>0$。

MRS 的变化与凸性

MRS 递增 ⟺ 严格凸：当且仅当偏好是严格凸的，MRS 才随 $x_1$ 增大而增大（绝对值变小、越来越不负）。这就是边际替代率递减（diminishing MRS）：随着 $x_1$ 越来越多，消费者愿意为再增加一单位 $x_1$ 放弃的 $x_2$ 越来越少。下图中 MRS 从左端的 $-5$ 变到右端的 $-0.5$。

反过来，若 MRS 随 $x_1$ 增大而减小（越来越负，如从 $-0.5$ 到 $-5$），或变化并非单调（如 $-0.5\to -1\to -2$，先升后降），则偏好是非凸的。

小结

概念	要点
偏好关系	$\succ$、$\succsim$、$\sim$ 三种，均为序数（ordinal）关系
三条公理	完全性、反身性、传递性
无差异曲线	同一曲线上消费束无差异；越高越优；不能相交
斜率	两种好商品为负；一好一坏为正
典型形状	完全替代（直线）、完全互补（L 形）、中性品（竖线）、餍足点（闭环）、离散商品（点集）
良态偏好	单调递增 + 凸（平均优于极端）
MRS	无差异曲线斜率 $=\frac{d{x}_2}{d{x}_1}$，恰愿交换比率；严格凸 ⟺ 边际替代率递减