中级微观27|要素市场

前面章节讨论产品市场时，都假定要素市场是完全竞争的。事实上，要素市场本身也可能面对不同的市场结构——本章把市场结构理论推广到要素的买方与卖方，讨论：边际产品收益的概念、完全竞争的要素市场、买方垄断、卖方垄断、上下游垄断。

一、产品市场与要素市场

要素市场的三种市场结构

1. 完全竞争的要素市场：要素的供给和需求双方都有大量参与者；
2. 买方垄断（monopsony）：要素买者具有垄断势力，市场上只有一家厂商是某种要素的惟一需求者；
3. 卖方垄断：要素出售者具有垄断势力，某种要素市场上只有一家要素供给者。

主要的生产要素与要素市场

四个主要生产要素：劳动（labor）、资本（capital）、土地（land）、企业家才能（entrepreneurship）。

• 劳动市场：一组人和企业交换劳动服务（labor services）。劳动力的价格是工资；工作是企业和家庭之间关于提供劳动服务的长期合约。
• 金融市场（financial market）：从事借贷活动的人或企业，最主要的两个金融市场是股票市场和债券市场。
• 土地市场：在中国，土地属集体所有、不能买卖；农村有农民之间的土地租赁，城市里商业用地的使用权（有的也包括所有权）可以买卖。
• 经理人市场：劳动市场的一个重要分支，在中国还处在起步阶段。

要素市场 × 产品市场：结构组合

厂商在要素市场上是要素的需求者，在产品市场上是产品的供给者，两侧的市场结构可以独立变化。每一种要素市场结构下，都可能面对不同的产品市场结构：

要素市场 ＼ 产品市场	完全竞争	完全垄断	寡头竞争
完全竞争	✓	✓	✓
完全垄断（买方垄断）	✓	✓	✓
寡头竞争	✓	✓	✓

二、边际分析：从产品市场到要素市场

• 产品市场中，关注的是边际收益与边际成本，与产量 $y$ 有关：$MR(y)$ 与 $MC(y)$；
• 要素市场中，关注的是与投入要素数量 $x$ 有关的边际量：投入增加带来的收益变化叫边际收益产品，成本变化记为 $MC(x)$。厂商追求利润最大化的条件是：

$MRP=MC(x)$

边际生产力

边际生产力（marginal productivity）：其他条件不变时，每增加一单位要素投入所增加的产量。边际生产力是递减的。在其他条件不变和边际生产力递减的前提下，一种生产要素的价格取决于其边际生产力。

一组核心概念

概念	记号与公式	含义
边际产量（marginal product）	$M{P}_x$	增加一单位投入带来的产出增加
边际收益（marginal revenue）	$M{R}_y$	增加一单位产出带来的收益增加
边际产品价值（value of the marginal product, VMP）	$VMP=MP\times P$	又称”边际产值”，增加一单位要素投入所增加的产值
边际收益产品（marginal revenue product, MRP）	$MRP=MP\times MR$	增加一单位要素投入所增加的收益
边际要素成本（marginal factor cost, MFC）	$MFC=MC(x)$	增加一单位要素投入所增加的成本支出

VMP 的推导：设 $R(Q)=Q\times P$，产量取决于要素 $Q=Q(L)$，则 $R(L)=Q(L)\times P$。因为 $MP=\mathrm{d}Q(L)/\mathrm{d}L$，所以 $VMP=MP\times P$。

要素成本的确定：成本本来是产量的函数 $C=C(Q)$，但产量又取决于要素用量，故成本可直接写成要素的函数。要素市场完全竞争时 $C=wL$，$\mathrm{d}C(L)/\mathrm{d}L=w$——边际要素成本就是常数 $w$。

三、完全竞争的要素市场

假设：有大量的要素供给者和需求者，单个供给者或需求者都不能影响要素价格，双方都是价格的接受者。设只有一种要素 $x$，生产函数 $y=f(x)$，收益 $R=py$。

MRP 的确定：取决于产品市场

1. 产品市场完全竞争（$P=MR$）：

$MRP=MR\times MP=P\times MP$

2. 产品市场完全垄断（$P>MR$）：

$MRP=MR\times MP$

由于垄断企业的边际收益小于市场价格（$MR<P$），垄断企业的边际收益产品曲线低于完全竞争企业的同一曲线。

用需求弹性表达：对产品市场垄断企业，

$MRP=\left[p+y\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}\right]M{P}_x=p\left[1-\frac{1}{|\epsilon |}\right]M{P}_x$

其中 $\epsilon$ 为产品需求弹性。

经济意义：再增加一单位要素投入，垄断厂商所增加的收益 $MRP$ 小于完全竞争厂商所增加的收益。为什么垄断厂商利润更高、增雇要素的收益却更低？原因有二：

1. 在既定产量水平下，竞争厂商可以卖出他想卖的产量，但垄断厂商要多卖产量就必须降价；
2. 要素增加带来的 $MR$ 的增加，垄断厂商小于竞争厂商（公式和图均可说明）。

竞争厂商的要素需求曲线

纯竞争企业既是产出品价格服从者，也是投入品价格服从者。企业购买要素直到额外投入的成本（边际成本）等于它带来的额外收益（边际收益）：

$MR{P}_i(x_i^{\ast })=w_i,MR{P}_i(x_i)=p\times M{P}_i(x_i)$

若边际收益与边际成本不相等，企业总可以通过改变生产计划而获利。

对产品市场垄断企业（要素市场仍竞争），利润函数 $\pi (x_1,x_2)=p(y)-w_1{x}_1-w_2{x}_2$（其中 $y=f(x_1,x_2)$），最大化条件为

$\frac{\mathrm{d}p(y)}{\mathrm{d}y}\frac{\partial y}{\partial x_1}-w_1=0,\frac{\mathrm{d}p(y)}{\mathrm{d}y}\frac{\partial y}{\partial x_2}-w_2=0$

即 $MRP(x_1^{\ast })=MR(y^{\ast })\times M{P}_1(x_1^{\ast })=w_1$（要素 2 同理）。于是

$MR\cdot MP=w,\text{亦即}w=P(y)\left[1-\frac{1}{|\epsilon |}\right]\times MP$

注意 $VMP$ 曲线与要素需求曲线的区别：$VMP$ 曲线的自变量是要素使用量 $L$，$VMP$ 是使用量的函数；需求曲线的自变量是要素价格 $W$，$L$ 是价格的函数。两者重合依赖两个潜在假定：要素的边际产品曲线不受要素价格变化的影响；产品价格不受要素价格变化的影响。

从厂商需求曲线到市场需求曲线

不能简单水平加总：要素价格下降时，所有厂商扩产会压低产品价格，使 $P\cdot MP$ 曲线本身下移。因此引入行业调整曲线：对每个工资水平按调整后的厂商需求加总，得市场需求 $D=n\cdot d_m$。

均衡条件汇总

要素市场完全竞争时 $C=wx$，$MC(x)=w$（$w$ 为常数）。利润最大化条件 $MRP=MC(x)$，即追加一单位要素投入，增加的收益等于增加的成本，化为 MRP = 要素价格：

• 要素市场完全竞争 + 产品市场完全竞争：

$p\cdot M{P}_L=w(\text{即 }VMP=w)$

• 要素市场完全竞争 + 产品市场完全垄断：

$MR\cdot M{P}_L=w,\text{即}w=P(y)\left[1-\frac{1}{|\epsilon |}\right]\times M{P}_L$

四、买方垄断（Monopsony）

定义与设定

要素市场中只有一个买方时，叫买方垄断（monopsony）。这里假设这个买方在产品市场是完全竞争的（产品市场垄断时只是把等式左边换成 $MR\times MP$）。

关键区别：在竞争性要素市场上，买方是价格接受者，面对一条平坦的供给曲线；在买方垄断的要素市场上，买方是价格创造者（price maker）——它面对的要素供给市场就是整个要素的供给市场，用反供给函数 $w(x)$ 表示。供给曲线向上倾斜：买方需要更多投入品，就必须支付更高的价格（符合供给法则：价格越低供给越少，价格越高供给越多）。

设只有一种要素 $x$，生产函数 $y=f(x)$，成本 $C=w(x)\cdot x$，其中 $w(x)$ 随 $x$ 变化。买方垄断者的利润函数：

$\pi (x)=pf(x)-w(x)x$

利润最大化条件与边际支出

一阶条件：

$p\frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}=w(x)+x\frac{\mathrm{d}w(x)}{\mathrm{d}x}$

仍是”边际收益 = 边际成本”，所不同的是边际成本的表达形式。等式右边称为边际支出（marginal expenditure, ME）：

$ME=MC(x)=w(x)+x\frac{\mathrm{d}w(x)}{\mathrm{d}x}>w(x)$

（产品市场垄断时等式左边相应为 $MRP=MR\times MP$，即 $MRP=MR\times MP=MC=w(x)+x\mathrm{d}w/\mathrm{d}x$。）

该公式说明三件事：

1. 要素的边际成本大于要素的价格；
2. 买方垄断时的要素价格低于完全竞争要素市场时的价格，使用的要素更少、价格更低；
3. 该公式可用于求要素的投入量和价格。

边际支出与供给弹性

按定义，供给弹性为 $\eta =\frac{\mathrm{d}w(x)}{\mathrm{d}x}\cdot \frac{x}{w(x)}>0$，于是

$ME=MC(x)=w(x)\left(1+\frac{1}{\eta }\right)\ge w(x)$

这与卖方垄断时”边际收益与需求弹性”的关系完全类似。若要素供给完全弹性（$\eta =\infty$），买方垄断的要素市场与完全竞争的要素市场相同。

线性供给的例子与无谓损失

设反供给函数 $w(x)=a+bx$，则总成本

$C(x)=w(x)x=ax+b{x}^2,MC(x)=a+2bx$

买方垄断者令 $MR=pM{P}_x=MC$，选择 $x^{\ast }$ 并沿供给曲线支付 $w^{\ast }$；而竞争均衡在供给曲线与 $MR=pM{P}_x$ 的交点 $(x^c,w^c)$。可见 $x^{\ast }<x^c$、$w^{\ast }<w^c$，出现无谓损失（deadweight loss）——买方垄断压低要素价格、限制要素使用量，导致配置低效。

例题：上海轮椅厂（买方垄断数值例）

上海轮椅厂是上海地区唯一一家轮椅生产厂家。劳动力供给函数为 $W=10+0.1X$（$W$ 是日工资，$X$ 是所有工人每天总共的劳动量）；生产函数 $Y=10X$；反需求函数 $P=41-Y/1000$。求：

1. 利润最大化的产量；
2. 使用的劳动量；
3. 轮椅的价格。

解：收益 $R=P\cdot Y=\left(41-\frac{Y}{1000}\right)Y$，故 $MR=41-\frac{Y}{500}=41-0.02X$（用 $Y=10X$ 代入），于是

$MRP=MR\times MP=(41-0.02X)\times 10=410-0.2X$

劳动的总成本 $=W\cdot X=(10+0.1X)X=10X+0.1X^2$，边际支出 $ME=10+0.2X$。令 $MRP=ME$：

$410-0.2X=10+0.2X\Rightarrow X=1000$

所以劳动量 $X=1000$，产量 $Y=10X=10000$，价格 $P=41-10000/1000=31$（日工资 $W=10+0.1\times 1000=110$）。

五、卖方垄断与双边垄断（上下游垄断）

定义

• 卖方垄断：要素的供给者是唯一的；买方厂商可能很多，也可能只有一家。
• 双边垄断：买方和卖方均是唯一的。这里主要讨论双边垄断，即买方和卖方均为垄断时的情况。

可以把生产要素的提供者（卖方）看作上游，卖方垄断即上游垄断（upstream monopoly）；把生产要素的购买者（买方）看作下游，买方垄断即下游垄断（downstream monopoly）。

下游垄断者：对要素的需求

分析买方垄断（下游垄断）：此时买方对要素的需求是唯一的，用该要素生产的产品也是唯一的（不考虑用其它要素生产同一产品的情况），故它对产品具有垄断地位。

设下游垄断厂商的产品需求函数 $P=a-by$，生产函数 $y=x$，生产成本 $C=wx$。注意 $w$ 是常数——上游厂商卖出要素什么价格，下游厂商只能接受。由 $MRP=MC$：

$MR\times MP=MC,MR=a-2by,MP=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=1,MC=w$

$a-2by=w\Rightarrow x=\frac{a-w}{2b}$

这就是下游厂商（对上游产品/要素）的需求函数。

上游垄断者：定价决策

要素的唯一供给者对要素的供给，相当于垄断厂商销售垄断产品。它面对下游派生出的要素需求 $x=(a-w)/2b$，反函数为 $w=a-2bx$，要素市场的边际收益 $MR(x)=a-4bx$。设上游生产要素的成本函数为 $x=vz$，则 $MC=\mathrm{d}x/\mathrm{d}z=v$。由 $MR(x)=MC(x)$：

$a-4bx=v\Rightarrow x=\frac{a-v}{4b}$

要素价格

$w=a-2bx=\frac{a+v}{2}$

于是最终产品产量 $y=x=(a-v)/4b$，再由 $P=a-by$ 可求出下游产品的价格 $P$。

双重加价与上下游一体化

双重价格加成（double markup）：上下游垄断企业越多（一个产品的流程中垄断环节越多），价格加成的次数就越多，最终产品的产量就越少；反之亦然。这就是上下游垄断企业产量之差的主要来源，也构成**合并（一体化）**的动机。

上下游联合（一体化生产）：产品需求函数 $P=a-by$；厂商生产要素的成本 $x=vz$，$MC=\mathrm{d}x/\mathrm{d}z=v$。合并后的垄断企业直接令 $MR=MC$：

$a-2by=v\Rightarrow y=\frac{a-v}{2b}$

与前面非一体化的 $y=(a-v)/4b$ 相比，一体化后的产量是两个垄断企业分别生产时的两倍。

（等价推导：设上游企业生产 $x$、边际成本为 $c$、以价格 $k$ 卖给下游；下游 $y=f(x)=x$、$p(y)=a-by$。下游由 $(a-k)/2b$ 决定产量，上游面对 $k(x)=a-2bx$ 得 $x=(a-c)/4b$——与上面 $v\equiv c$、$w\equiv k$ 的结果一致。）

例题：矿泉水双边垄断

矿泉水垄断销售商面临需求函数 $P=40-12y$，从矿泉水生产商那里以每瓶 $k$ 的价格买来；销售商的生产函数 $y=x$；生产商的成本函数 $C=20x$。求 $P$、$Y$。

解：下游（销售商）边际收益 $MR=40-24y$，令 $MR=k$：

$40-24y=k\Rightarrow y=x=\frac{40-k}{24}\Rightarrow k=40-24x$

上游（生产商）的收益为 $kx=(40-24x)x$，边际收益 $MR(x)=40-48x$，边际成本 $MC=20$。令 $MR(x)=MC$：

$40-48x=20\Rightarrow x=\frac{20}{48}=\frac{5}{12}$

所以 $Y=y=\frac{5}{12}$，中间价格 $k=40-24\times \frac{5}{12}=30$，最终价格 $P=40-12\times \frac{5}{12}=35$。（套用一般公式：$x=\frac{a-v}{4b}=\frac{40-20}{48}=\frac{5}{12}$，$w=\frac{a+v}{2}=\frac{40+20}{2}=30$。）

小结

市场结构	利润最大化条件	要素使用量与价格
要素市场竞争 + 产品市场竞争	$p\cdot MP=w$（$VMP=w$）	基准：最多、价格由供需决定
要素市场竞争 + 产品市场垄断	$MR\cdot MP=w$，$MR<p$	MRP 曲线更低，用要素更少
买方垄断（产品市场竞争）	$p\cdot MP=ME=w(x)+x\frac{dw}{dx}>w$	用要素更少 $x^{\ast }<x^c$，付价更低 $w^{\ast }<w^c$，有无谓损失
双边垄断 / 上下游垄断	上游 $MR(x)=MC$；下游 $MR\cdot MP=k$	双重加价，产量仅一体化时的 $1/2$
上下游一体化	$MR=MC$（一次加价）	$y=\frac{a-v}{2b}$，产量翻倍

核心直觉：垄断位置决定扭曲方向——产品市场垄断压低 MRP 曲线（少用要素），买方垄断压低要素价格与用量（ME > w），上下游双重垄断则层层加价、层层缩产，而一体化通过减少加价次数扩大最终产量。