中级微观22|成本曲线

本章对应 Varian《中级微观经济学》（Intermediate Microeconomics）第 22 章 Cost Curves。第 19~21 章研究了厂商的技术、利润最大化与成本最小化，把要素价格代入条件要素需求函数就得到了成本函数（cost function）。本章给成本函数画出图形——成本曲线（cost curves），并回答两个问题：各条成本曲线之间有什么关系？长期成本曲线和短期成本曲线之间有什么关系？

成本曲线的类型

成本函数 $c(y)$ 把成本表示为产量 $y$ 的函数，它的图象就是各种成本曲线：

• 总成本曲线（total cost curve）：总成本函数的图象；
• 可变成本曲线（variable cost curve）：可变成本函数的图象；
• 平均总成本曲线（average total cost curve）：平均总成本函数的图象；
• 平均可变成本曲线（average variable cost curve）：平均可变成本函数的图象；
• 平均固定成本曲线（average fixed cost curve）：平均固定成本函数的图象；
• 边际成本曲线（marginal cost curve）：边际成本函数的图象。

固定、可变与总成本函数

三种成本的定义

• 固定成本（fixed cost）$F$：厂商短期固定投入的总成本，是厂商必须支付的成本，与产量水平无关，不随产出水平 $y$ 的变化而变化。例如厂房、设备的费用（租赁或抵押贷款）、管理人员的薪金等。
• 可变成本（variable cost）$c_v(y)$：厂商生产 $y$ 单位产出时可变投入的总成本，随产出水平的变化而变化。例如生产工人的工资、原材料费用。注意 $c_v(y)$ 还依赖于固定投入要素的水平——固定投入不同，同一产量的可变成本也不同。
• 总成本（total cost）$c(y)$：固定成本与可变成本之和，即厂商的总成本函数（total cost function）：

$c(y)=F+c_v(y).$

图形

• 固定成本 $F$ 是一条水平线；
• 可变成本曲线 $c_v(y)$ 从原点出发、递增（先较陡、后趋缓、再渐陡）；
• 总成本曲线 $c(y)$ 就是 $c_v(y)$ 向上平移 $F$ 的结果，两条曲线在每个产量上斜率相同，垂直距离恒为 $F$。

平均成本曲线

平均总成本的构成

企业的总成本函数是 $c(y)=F+c_v(y)$。对 $y>0$，**平均总成本函数（average total cost function）**为

$AC(y)=\frac{c(y)}{y}=\frac{c_v(y)}{y}+\frac{F}{y}=AVC(y)+AFC(y).$

即平均总成本 = 平均可变成本 + 平均固定成本。

平均固定成本：直角双曲线

$AFC(y)=\frac{F}{y}.$

$AFC(y)$ 是一条直角双曲线（rectangular hyperbola）：产量 $y\to 0$ 时 $AFC\to \infty$，产量增大时不断下降，$y\to \infty$ 时 $AFC(y)\to 0$——固定成本被摊薄到越来越多的产量上。

平均可变成本：最终上升

在短期，由于至少有一种要素固定不变，边际报酬递减规律导致平均可变成本 $AVC(y)$ 最终必然上升：可变投入增加到一定程度后，其平均产出下降，平摊到每单位产出的可变成本便越来越高。

ATC = AFC + AVC 的图形合成

$ATC(y)=AFC(y)+AVC(y),AFC(y)=ATC(y)-AVC(y).$

• $ATC$ 曲线是 $AVC$ 与 $AFC$ 纵向叠加的结果；反过来，$ATC$ 与 $AVC$ 之间的垂直距离就等于 $AFC$。
• 由于 $AFC(y)\to 0$（当 $y\to \infty$），所以 $ATC(y)\to AVC(y)$——两条曲线随产量增大不断靠近但永不相交；
• 又因为短期 $AVC(y)$ 最终必然上升，所以 $ATC(y)$ 最终也将上升。

两条曲线都呈”先降后升”的 U 型：左段被不断下降的 $AFC$ 拉低，右段被最终上升的 $AVC$ 拉高。

边际成本函数

定义

边际成本（marginal cost）$MC(y)$ 是可变成本关于产量的变化率：

$MC(y)=\frac{\partial c_v(y)}{\partial y}.$

由于总成本 $c(y)=F+c_v(y)$，而固定成本 $F$ 不随产量 $y$ 变化，求导时 $F$ 消失：

$MC(y)=\frac{\partial c_v(y)}{\partial y}=\frac{\partial c(y)}{\partial y}.$

因此 $MC$ 既是可变成本函数的斜率，也是总成本函数的斜率——这也解释了为什么 $c(y)$ 与 $c_v(y)$ 平行。

由边际成本还原可变成本

$MC(y)$ 是可变成本函数 $c_v(y)$ 的导数，反过来 $c_v(y)$ 就是 $MC(y)$ 的积分：

$c_v(y)={\int }_0^{y}MC(z)dz.$

即：边际成本曲线下方的面积 = 可变成本。边际成本不包含任何固定成本，这正是”固定成本不影响边际成本”的几何表述。

边际成本与平均成本的关系

MC 与 AVC 的推导

由于 $AVC(y)=\frac{c_v(y)}{y}$，用商的求导法则：

$\frac{\partial AVC(y)}{\partial y}=\frac{y\times MC(y)-1\times c_v(y)}{y^2}.$

因此（当 $y>0$ 时）

$\frac{\partial AVC(y)}{\partial y}\{\begin{array}{l}>\\ =\\ <\end{array}0\text{当且仅当}MC(y)\{\begin{array}{l}>\\ =\\ <\end{array}\frac{c_v(y)}{y}=AVC(y).$

• $MC(y)<AVC(y)\Rightarrow \frac{\partial AVC(y)}{\partial y}<0$：平均可变成本下降；
• $MC(y)>AVC(y)\Rightarrow \frac{\partial AVC(y)}{\partial y}>0$：平均可变成本上升；
• $MC(y)=AVC(y)\Rightarrow \frac{\partial AVC(y)}{\partial y}=0$：平均可变成本处于最低点。

MC 与 ATC：完全平行的结论

类似地，因为 $ATC(y)=\frac{c(y)}{y}$：

$\frac{\partial ATC(y)}{\partial y}=\frac{y\times MC(y)-1\times c(y)}{y^2},$

所以当且仅当 $MC(y)\{\begin{array}{l}>\\ =\\ <\end{array}\frac{c(y)}{y}=ATC(y)$ 时，平均总成本相应地 \begin{cases} \text{上升} \ \text{不变} \ \text{下降} \end{cases}；$MC=ATC$ 时 $ATC$ 处于最低点。

直观理解：边际量拉动平均量。新增一单位产出的成本若低于目前的平均值，就会把平均值往下拉；若高于平均值，就把平均值往上抬；只有它恰好等于平均值时，平均值才不动——所以 $MC$ 曲线必然穿过 $AVC$、$ATC$ 各自的最低点。

结论

• 短期边际成本曲线穿过短期平均可变成本曲线的最低点；

• 短期边际成本曲线穿过短期平均总成本曲线的最低点。

U 型 $ATC$ 的左段 $MC<ATC$，平均成本被拉低；右段 $MC>ATC$，平均成本被推高。图中还能看到两个最低点的相对位置：因为 $ATC=AVC+AFC\ge AVC$，$ATC$ 的最低点位于 $AVC$ 最低点的右上方。

短期与长期总成本曲线

不同固定投入水平下的短期成本曲线

短期成本曲线因固定成本的不同而不同，而固定成本取决于固定投入 $x_2$ 的水平。假设企业在短期有三种可能的 $x_2$ 投入水平：

$x_2=x_2^{\prime }\text{或}{x}_2=x_2^{\prime \prime }\text{或}{x}_2=x_2^{\prime \prime \prime },x_2^{\prime }<x_2^{\prime \prime }<x_2^{\prime \prime \prime }.$

对应的固定成本为 $F^{\prime }=w_2{x}_2^{\prime }$，$F^{\prime \prime }=w_2{x}_2^{\prime \prime }$，$F^{\prime \prime \prime }=w_2{x}_2^{\prime \prime \prime }$，短期总成本曲线记作 $c_s(y;x_2)$。

• 更多的固定要素投入将增加厂商的固定成本——曲线起点更高；
• 但更多的固定要素投入将减少成本曲线的斜率，使之更加平坦。为什么？

斜率：MC = w₁/MP₁

设 $M{P}_1$ 是要素 1 的边际产出（marginal product）。每增加一单位要素 1 的投入带来 $M{P}_1$ 单位的额外产出，因此生产一单位额外产出所需要的额外投入数量为

$\frac{1}{M{P}_1}\text{单位的要素 1}.$

每单位要素 1 需要花费成本 $w_1$，所以企业生产一单位额外产出所需的成本为

$MC=\frac{w_1}{M{P}_1},$

这正是企业总成本曲线的斜率。如果要素 2 与要素 1 互补，增加 $x_2$ 会提高要素 1 的边际产出 $M{P}_1$，因此 $x_2$ 越大，边际成本 $MC=w_1/M{P}_1$ 就越低。也就是说：$x_2$ 越大，短期成本曲线的初始位置（截距 $F$）越高，但斜率越小、曲线越平坦——图中 $c_s(y;x_2^{\prime })$ 陡峭而 $c_s(y;x_2^{\prime \prime \prime })$ 平缓。

长期：按产量选择固定投入（离散情形）

企业在长期可以自由选择 $x_2$ 等于 $x_2^{\prime }$、$x_2^{\prime \prime }$ 或 $x_2^{\prime \prime \prime }$，那么该如何选择？答案是：每个产量水平上选择使成本最小的那条短期成本曲线：

• 当 $0\le y\le y^{\prime }$ 时，选择 $x_2=x_2^{\prime }$（此时它最便宜）；
• 当 $y^{\prime }\le y\le y^{\prime \prime }$ 时，选择 $x_2=x_2^{\prime \prime }$；
• 当 $y^{\prime \prime }<y$ 时，选择 $x_2=x_2^{\prime \prime \prime }$。

结论：企业的长期总成本曲线由短期总成本曲线的成本最低点构成——长期总成本曲线是短期总成本曲线的下包络线（lower envelope）。

连续情形

当固定投入 $x_2$ 可以连续取值时，存在无穷多条短期总成本曲线，下包络线变成一条光滑曲线。

短期与长期平均成本曲线

既然长期总成本曲线是由短期总成本曲线的成本最低点构成的，那么长期平均总成本曲线也是由短期平均成本曲线的成本最低点构成——长期平均总成本曲线是所有短期平均总成本曲线的下包络线。

沿用三种固定投入水平的例子，企业对应的三条短期平均成本曲线是：

每个产量取三条曲线中的最低者，就得到长期平均成本曲线 $AC(y)$：

注意包络的含义：$AC(y)$ 在每一点都取到短期曲线的最小值，但只在少数几个产量上与某条短期曲线的最低点相切（离散情形下）——长期平均成本曲线并不经过每条短期平均成本曲线的最低点。

短期与长期边际成本曲线

问：长期边际成本曲线是短期边际成本曲线的包络线吗？

答：不是。

仍用三种固定投入水平的例子。先画出三条短期平均成本曲线，再按”MC 过平均成本最低点”的结论添上各自对应的短期边际成本曲线 $M{C}_s(y;x_2)$：

• 长期边际成本曲线（红色粗线）不是短期边际成本曲线的包络线；
• 它由”企业实际选择的那条短期边际成本曲线”上的对应段拼接而成：在每个产量水平上，长期边际成本等于被选中的那条短期边际成本。

对于任意的产出水平 $y>0$，企业的长期边际成本就是企业所选择的短期边际成本——这个结论对离散情形和连续情形都成立。

连续情形

当 $x_2$ 可以取任何非负值时，存在无穷多条短期平均成本曲线（SRACs）及其对应的短期边际成本曲线（SRMCs）：

• $MC(y)$ 与每一条 $SRMC$ 曲线在 $AC(y)$ 与对应 $SRAC$ 的切点所对应的产量处恰好相交（切点处长期与短期取同一成本，边际成本自然也相同）；
• 在长期平均成本曲线的最低点，$MC(y)$、$AC(y)$ 与该处的 $SRMC$、$SRAC$ 四线汇聚于一点；
• 汇总成一句话：对于每个 $y>0$，长期 MC 等于企业所选择的短期 MC。

本章要点小结

关系	结论
成本的构成	$c(y)=F+c_v(y)$，$AC=AVC+AFC$
$AFC$	直角双曲线 $F/y$，单调递减趋于 0
边际成本	$MC=\frac{\partial c_v}{\partial y}=\frac{\partial c}{\partial y}$；$c_v(y)={\int }_0^{y}MC(z)dz$（MC 下面积 = 可变成本）
MC 与平均线	$MC<AC$ 时 $AC$ 降，$MC>AC$ 时 $AC$ 升，$MC=AC$ 时 $AC$ 最低——MC 过 AVC、ATC 的最低点
长期 vs 短期	长期总成本、平均成本曲线分别是短期曲线族的下包络线；长期边际成本不是短期边际成本的包络线，而是每个产量上被选中的那段短期边际成本