中级微观20|利润最大化

一、经济利润（Economic Profit）

生产计划与利润

设生产者投入 $m$ 种要素，要素 $j=1,\dots ,m$ 的数量为 $x_1,\dots ,x_m$，价格为 $w_1,\dots ,w_m$；生产 $n$ 种产品，产量为 $y_1,\dots ,y_n$，价格为 $p_1,\dots ,p_n$。生产计划 $(x_1,\dots ,x_m,y_1,\dots ,y_n)$ 带来的**利润（profits）**是收益与成本之差：

$\pi =p_1{y}_1+\cdots +p_n{y}_n-w_1{x}_1-\cdots -w_m{x}_m,$

即 $\pi =TR-TC=pQ-TC$。利润的相关因素：产品的价格、产品的产量、投入要素的价格、投入要素的数量。这里计算的是经济利润（economic profit）。

对竞争性厂商而言，产品价格 $p_1,\dots ,p_n$ 和要素价格 $w_1,\dots ,w_m$ 都是外生给定的（企业是价格接受者）。

经济利润与会计利润的区别

区别在于成本的计算不同：

• 会计成本是历史成本，即生产要素最初购买时的价格；
• 经济成本是考虑了**机会成本（opportunity cost）**的成本：将生产要素用于某一用途，就放弃了将其用于其他用途的机会，因此而放弃的最高收益就是该用途的机会成本。例如所有者与经营者的工资、土地与设备的机会成本等。

显成本、隐成本与正常利润

• 显成本（explicit cost）：厂商在生产要素市场上购买或租用他人所拥有要素的实际支出。从机会成本角度看，这笔支出的总价格必须等于这些要素用在其他用途时所能得到的最高收入。
• 隐成本（implicit cost）：企业主自身拥有的、投入生产的要素的报酬，也必须按这些自有要素在其他用途中能得到的最高收入来计量。
• 显成本 + 隐成本 = 总成本；经济利润 = 总收益 − 总成本。
• 正常利润（normal profit）：厂商对自己所提供的企业家才能的回报，是隐成本的一部分。因此当经济利润为零时，厂商仍然能够得到全部的正常利润。

利润是流量：现值与企业价值

经济利润是一个**流量（flow）**概念：

1. 投入本身是流量，如劳动量表示每小时使用的劳动力数量，因此要素价格要用适合于购买这些流量的单位来测度；
2. 产量也是流量，如每天汽车的产量；
3. 生产过程要经历一段时间，当前的投入要过一段时间才能得到收益；
4. 所谓要素价格，指的是要素所提供的服务的价格——工资以每小时多少美元计，机器的价格就是机器的租金率（一定时期内租用一台机器的费用率）。

在一个确定的环境中，企业未来的利润流量是已知的。企业未来利润的**现值（present value, PV）**就是企业的现值，是股东购买该企业愿意支付的金额：

$PV={\pi }_0+\frac{{\pi }_1}{1+r}+\frac{{\pi }_2}{(1+r{)}^2}+\cdots$

换句话说，股票的市场价值代表了人们预期企业所能创造的利润流量的现值。完全竞争市场的投资者（股东）总是希望拥有较高现值的禀赋，通过股票市场价值的最大化可使股东获得最大利益——因此利润最大化是企业所有者追逐的目标。

二、市场结构与竞争性企业

四种市场结构的基本特征：

市场结构	厂商数目	产品差别程度	进入难易	能否控制价格
完全竞争	很多	同质产品	易	不能
垄断竞争	较多	差别产品	较易	一定程度上可以
寡头垄断	较少	同质或有差别	较难	较大程度上可以
完全垄断	唯一	－	很难	可以

本章研究完全竞争厂商的利润最大化。

三、短期利润最大化

不变要素、可变要素与准不变要素

• 不变要素（fixed factor）：即使企业产量为零，企业仍必须为其进行支付，对应的成本即不变成本（$FC$）；
• 可变要素（variable factor）：对应的成本即可变成本（$VC$）；
• 准不变要素（quasi-fixed factor）：不管企业产量为多少，都必须按固定数量使用的要素。

短期利润与等利润线

设企业处于短期，要素 2 固定在 ${\tilde{x}}_2$，则：

• 短期生产函数：$y=f(x_1,{\tilde{x}}_2)$；
• 固定成本：$FC=w_2{\tilde{x}}_2$；
• 利润函数：$\pi =py-w_1{x}_1-w_2{\tilde{x}}_2$。

等利润线（iso-profit line）：一条 $\pi$ 等利润线包含所有能提供利润水平 $\pi$ 的生产计划，即产生同一固定利润水平的投入品和产出品的所有组合。由 $\pi =py-w_1{x}_1-w_2{\tilde{x}}_2$ 解出 $y$：

$y=\frac{w_1}{p}{x}_1+\frac{\pi +w_2{\tilde{x}}_2}{p}.$

所以等利润线的斜率为 $+\frac{w_1}{p}$，纵截距为 $\frac{\pi +w_2{\tilde{x}}_2}{p}$。利润水平越高的等利润线，纵截距越大；等利润线位置变动的唯一因素就是利润水平的变动。

技术约束：生产函数

利润最大化不是无条件实现的，必须受生产条件（即生产函数/技术）的约束。企业能选择的只能是生产函数曲线及其下方的生产计划（曲线下方是技术上无效率的生产计划，曲线上才是有效率的选择）。厂商面临的问题就是：在技术约束下确定生产计划，以达到位置最高的等利润线。

利润最大化条件

利润最大化就是在生产函数曲线上寻找一个与位置最高的等利润线相切的切点。在切点处，等利润线的斜率等于生产函数（曲线）的斜率：

$M{P}_1=\frac{w_1}{p}⟺p\times M{P}_1=w_1.$

直观判断（边际产品价值与要素价格比较）：

• 若要素的边际产品价值 $p\times M{P}_1>w_1$：增加要素投入所增加的收益大于成本，利润上升，应继续增加投入；
• 若 $p\times M{P}_1<w_1$：增加投入使成本增加超过收益，利润下降，应减少投入；
• 只有 $p\times M{P}_1=w_1$（边际产品价值等于要素价格）时利润最大。

边际收益产品 MRP

$p\times M{P}_1$ 称为要素 1 的边际收益产品（marginal revenue product, MRP）：收益随着投入 $x_1$ 使用量而增加的速率。若 $p\times M{P}_1>w_1$，收入随 $x_1$ 的增加而增加；若 $p\times M{P}_1<w_1$，收入随 $x_1$ 的增加而减少。

四、柯布-道格拉斯例子（短期）

假设短期生产函数为

$y=x_1^{1/3}{\tilde{x}}_2^{1/3}.$

要素 1 的边际产品为

$M{P}_1=\frac{\partial y}{\partial x_1}=\frac{1}{3}{x}_1^{-2/3}{\tilde{x}}_2^{1/3}.$

利润最大化条件 $MR{P}_1=p\times M{P}_1=w_1$ 即

$\frac{p}{3}(x_1^{\ast }{)}^{-2/3}{\tilde{x}}_2^{1/3}=w_1.$

求解要素需求

对 $x_1$ 求解：

$(x_1^{\ast }{)}^{-2/3}=\frac{3w_1}{p{\tilde{x}}_2^{1/3}},(x_1^{\ast }{)}^{2/3}=\frac{p{\tilde{x}}_2^{1/3}}{3w_1},$

$x_1^{\ast }={\left(\frac{p}{3w_1}\right)}^{3/2}{\tilde{x}}_2^{1/2}.$

这就是企业对要素 1 的短期需求函数（要素 2 的投入量固定在 ${\tilde{x}}_2$）。

短期供给

将 $x_1^{\ast }$ 代入生产函数，得企业的短期产出水平：

$y^{\ast }=(x_1^{\ast }{)}^{1/3}{\tilde{x}}_2^{1/3}={\left(\frac{p}{3w_1}\right)}^{1/2}{\tilde{x}}_2^{1/2},$

即短期供给函数。

短期利润

把 $y^{\ast }$ 与 $x_1^{\ast }$ 代入利润定义并逐步化简：

$$\begin{array}{rl}\pi & =p{y}^{\ast }-w_1{x}_1^{\ast }-w_2{\tilde{x}}_2\\ & =p{\left(\frac{p}{3w_1}\right)}^{1/2}{\tilde{x}}_2^{1/2}-w_1{\left(\frac{p}{3w_1}\right)}^{3/2}{\tilde{x}}_2^{1/2}-w_2{\tilde{x}}_2\\ & =p{\left(\frac{p}{3w_1}\right)}^{1/2}{\tilde{x}}_2^{1/2}-w_1\cdot \frac{p}{3w_1}{\left(\frac{p}{3w_1}\right)}^{1/2}{\tilde{x}}_2^{1/2}-w_2{\tilde{x}}_2\\ & =\frac{2p}{3}{\left(\frac{p}{3w_1}\right)}^{1/2}{\tilde{x}}_2^{1/2}-w_2{\tilde{x}}_2\\ & ={\left(\frac{4p^3}{27w_1}\right)}^{1/2}{\tilde{x}}_2^{1/2}-w_2{\tilde{x}}_2.\end{array}$$

五、短期利润最大化的比较静态分析

产品价格 $p$ 变化

由等利润线方程 $y=\frac{w_1}{p}{x}_1+\frac{\pi +w_2{\tilde{x}}_2}{p}$ 可知，$p$ 增加将导致：

• 等利润线斜率减小；
• 纵截距减小。

于是利润最大化点上移：产出水平 $y$ 增加，可变要素投入量 $x_1$ 增加。

也可以由 MRP 解释：$p$ 上升后 $p\times M{P}_1>w_1$，继续增加要素投入的收益大于成本，利润会增加，因此必定出现一个新的（更高的）利润最大化点。

由此可知：产品价格上升导致产量上升，企业的供给曲线必然向上倾斜。

柯布-道格拉斯例子的验证：$x_1^{\ast }={\left(\frac{p}{3w_1}\right)}^{3/2}{\tilde{x}}_2^{1/2}$，$y^{\ast }={\left(\frac{p}{3w_1}\right)}^{1/2}{\tilde{x}}_2^{1/2}$，二者都随 $p$ 的增加而增加。

要素价格 $w_1$ 变化

$w_1$ 增加将导致：

• 等利润线斜率增加；
• 纵截距没有任何变化。

于是利润最大化点下移：产出水平 $y$ 减少（企业的供给曲线向内移动），可变要素投入量 $x_1$ 减少（企业的可变要素需求曲线向下倾斜）。

柯布-道格拉斯例子：$x_1^{\ast }$ 与 $y^{\ast }$ 都随 $w_1$ 的增加而减小——要素需求曲线向下倾斜。

要素价格 $w_2$ 变化

$w_2$ 是固定要素的价格，其变动不会对等利润线的斜率产生影响，也不会改变要素 1 的最优选择量，产品供给量同样不变；改变的是利润水平本身：$w_2$ 上升则利润下降，反之利润上升。

六、长期利润最大化

**长期（long run）**中两个要素 $x_1,x_2$ 都可变，没有固定的投入水平，因此没有固定成本。

分析思路：把企业视为先在给定 $x_2$ 值下选择利润最大化的生产计划（这正是一个短期问题），然后改变 $x_2$ 以找到最大可能的利润水平。

长期等利润线方程为 $y=\frac{w_1}{p}{x}_1+\frac{\pi +w_2{x}_2}{p}$，于是 $x_2$ 增加将导致：斜率不变、纵截距增加。

不同的 $x_2$ 对应不同的短期生产函数曲线：$x_2$ 的水平越高，要素 1 的生产率就越高；但要素 2 的边际产品是递减的。

每一个短期生产计划都满足 $p\times M{P}_1-w_1=0$。随着 $x_2$ 增加，利润先递增后递减——要素 2 的边际利润在递减。

只要 $p\times M{P}_2-w_2>0$，利润就随 $x_2$ 的增加而增加；于是长期利润最大化要求

$p\times M{P}_2-w_2=0.$

又因为 $p\times M{P}_1-w_1=0$ 在每个短期计划中均满足，所以长期利润最大化的投入水平必须同时满足：

$p\times M{P}_1=w_1,p\times M{P}_2=w_2.$

即边际收入等于所有投入的边际成本。两个条件必须同时成立，解出的 $(x_1^{\ast },x_2^{\ast })$ 才是利润最大化点；任何一个式子不成立，得到的投入束都不是利润最大化的投入束。

七、柯布-道格拉斯例子（长期）

由短期利润导出长期最优 $x_2$

仍设 $y=x_1^{1/3}{x}_2^{1/3}$，短期需求与供给同前。短期利润（作为固定量 ${\tilde{x}}_2$ 的函数）为

$\pi ={\left(\frac{4p^3}{27w_1}\right)}^{1/2}{\tilde{x}}_2^{1/2}-w_2{\tilde{x}}_2.$

对 ${\tilde{x}}_2$ 求解长期利润最大化：

$0=\frac{\partial \pi }{\partial {\tilde{x}}_2}=\frac{1}{2}{\left(\frac{4p^3}{27w_1}\right)}^{1/2}{\tilde{x}}_2^{-1/2}-w_2,$

得到

${\tilde{x}}_2=x_2^{\ast }=\frac{p^3}{27w_1{w}_2^2}.$

长期最优生产计划

将 $x_2^{\ast }$ 代入短期要素需求，得长期要素 1 的最优水平：

$x_1^{\ast }={\left(\frac{p}{3w_1}\right)}^{3/2}{\left(\frac{p^3}{27w_1{w}_2^2}\right)}^{1/2}=\frac{p^3}{27w_1^2{w}_2}.$

将 $x_2^{\ast }$ 代入短期供给，得长期最优产出水平：

$y^{\ast }={\left(\frac{p}{3w_1}\right)}^{1/2}{\left(\frac{p^3}{27w_1{w}_2^2}\right)}^{1/2}=\frac{p^2}{9w_1{w}_2}.$

所以给定价格 $p,w_1,w_2$ 与生产函数 $y=x_1^{1/3}{x}_2^{1/3}$，长期利润最大化的生产计划是

$(x_1^{\ast },x_2^{\ast },y^{\ast })=\left(\frac{p^3}{27w_1^2{w}_2},\frac{p^3}{27w_1{w}_2^2},\frac{p^2}{9w_1{w}_2}\right).$

（长期）要素需求与反要素需求曲线

长期最优投入水平是价格的函数：

$x_1^{\ast }=x_1^{\ast }(w_1,w_2,p),x_2^{\ast }=x_2^{\ast }(w_1,w_2,p).$

要素需求曲线（factor demand curve）：要素价格与该要素最优选择组合点的轨迹，表示要素的价格与该要素的利润最大化使用量之间的关系。

反要素需求曲线（inverse factor demand curve）：测度为得到既定数量的要素投入所必需的要素价格——在 $x_2=x_2^{\ast }$ 时，要得到所需要数量的要素 1，要素 1 的价格必须是多少。

八、规模报酬与利润最大化

规模报酬递减（decreasing returns to scale）

若竞争性企业的技术呈规模报酬递减，则企业存在唯一的长期利润最大化的生产计划。

规模报酬递增（increasing returns to scale）

若技术呈规模报酬递增，则企业不存在利润最大化的生产计划：产量与利润可以不断扩大。因此规模报酬递增的技术与完全竞争是不相容的——完全竞争市场中不存在规模报酬递增的技术。

规模报酬不变（constant returns to scale）

若技术呈规模报酬不变，任一带来正利润的生产计划都可以通过把所有投入翻倍而使产量与利润都翻倍，因此正的经济利润与完全竞争相矛盾。唯一的可能是零利润：在完全竞争性市场中，规模报酬不变企业的长期利润必为零（等利润线 $\pi =0$ 与生产函数重合）。