中级微观16｜均衡

教材：Varian, Intermediate Microeconomics: A Modern Approach, 8th ed., W.W. Norton（中译版《微观经济学：现代观点》，格致出版社）。

本章要点：市场均衡（market equilibrium） 的定义与价格调整机制；线性市场均衡的求解（正函数与反需求/反供给曲线两条路径）；两个特例（供给数量固定、供给弹性无穷大）；从量税（quantity tax） 对价格、交易量、福利的影响；税收归宿（tax incidence） 与自身价格弹性（own-price elasticity） 的关系；税收的无谓损失（deadweight loss）。

一、市场均衡

均衡的含义

当市场总需求等于总供给时，市场实现均衡（equilibrium）。

均衡价格与均衡数量

设市场需求为 $D(p)$、市场供给为 $S(p)$。在价格 $p^{\ast }$ 处若

$D(p^{\ast })=S(p^{\ast })$

市场处于均衡：$p^{\ast }$ 称为均衡价格，$q^{\ast }=D(p^{\ast })=S(p^{\ast })$ 称为均衡数量。

超额供给与超额需求

超额供给（excess supply）：当价格 $p^{\prime }>p^{\ast }$ 时，$D(p^{\prime })<S(p^{\prime })$，供给数量超过需求数量，卖方之间竞争压价——市场价格必定下降到 $p^{\ast }$。

超额需求（excess demand）：当价格 $p^{\prime \prime }<p^{\ast }$ 时，$D(p^{\prime \prime })>S(p^{\prime \prime })$，需求数量超过供给数量，买方之间竞争抬价——市场价格必定上升到 $p^{\ast }$。

复习：均衡变动的比较静态例子

回顾初微中”均衡为什么会变”的几个经典例子（供求曲线移动的比较静态分析）：

为什么棕壳蛋比白壳蛋贵？ 两种解释都能用均衡图形说明：

• 需求差异：消费者更偏好棕壳蛋，其需求曲线位于白壳蛋右侧，于是 $P_B>P_W$ 且 $Q_B>Q_W$；

• 供给差异：生产棕壳蛋成本更高，其供给曲线位于白壳蛋左上方，同样得到 $P_B>P_W$（但 $Q_B<Q_W$）。

为什么情人节前玫瑰涨价？ 节日使玫瑰需求大幅右移，而短期供给来不及增加（供给曲线不动），均衡价格与数量同时上升（$P_N\to P_V$，$Q_N\to Q_V$）。

那为什么超级碗（Super Bowl）前啤酒不涨价？ 啤酒需求同样右移，但厂商提前备货、供给同步大幅右移：需求与供给同时扩张，均衡价格几乎不变，只有数量从 $Q_N$ 增至 $Q_{SB}$。价格是否上涨取决于哪条曲线动、动多少。

二、线性市场的均衡求解

用（正）需求与供给函数求解

设线性需求与线性供给：

$D(p)=a-bp,S(p)=c+dp$

均衡价格 $p^{\ast }$ 下 $D(p^{\ast })=S(p^{\ast })$，即

$a-b{p}^{\ast }=c+d{p}^{\ast }$

解得

$p^{\ast }=\frac{a-c}{b+d},q^{\ast }=D(p^{\ast })=S(p^{\ast })=\frac{ad+bc}{b+d}$

用反需求与反供给函数求解

由 $q=D(p)=a-bp$ 解出价格，得市场反需求曲线（inverse demand curve）：

$p=D^{-1}(q)=\frac{a-q}{b}$

由 $q=S(p)=c+dp$ 解出价格，得市场反供给曲线（inverse supply curve）：

$p=S^{-1}(q)=\frac{-c+q}{d}$

在均衡数量 $q^{\ast }$ 处两个反函数取值相等：$D^{-1}(q^{\ast })=S^{-1}(q^{\ast })$，即

$\frac{a-q^{\ast }}{b}=\frac{-c+q^{\ast }}{d}⟹q^{\ast }=\frac{ad+bc}{b+d}$

进而

$p^{\ast }=D^{-1}(q^{\ast })=S^{-1}(q^{\ast })=\frac{a-c}{b+d}$

与正函数法结果完全一致：两条曲线在 $(q^{\ast },p^{\ast })$ 处相交。

三、两个特例

特例一：供给数量固定

供给数量固定，与市场价格相互独立：$S(p)=c+dp$ 中 $d=0$，即 $S(p)\equiv c$——供给曲线是竖直线（供给完全无弹性）。

此时均衡数量完全由供给决定，均衡价格完全由需求决定：

$q^{\ast }=c,p^{\ast }=D^{-1}(q^{\ast })=\frac{a-c}{b}$

用一般公式令 $d=0$ 验证：$p^{\ast }=\frac{a-c}{b+0}=\frac{a-c}{b}$，$q^{\ast }=\frac{ad+bc}{b+d}=c$。

特例二：供给对价格的弹性无穷大

供给数量对价格极为敏感：供给曲线是水平线，反供给函数为常数

$S^{-1}(q)=p^{\ast }$

价格完全由供给决定，数量完全由需求决定。由 $p^{\ast }=D^{-1}(q^{\ast })=\frac{a-q^{\ast }}{b}$ 得

$q^{\ast }=a-b{p}^{\ast }$

四、从量税与市场均衡

定义与要回答的问题

从量税（quantity tax）：税率为 $t$——每单位商品被征收 $t$（美元）的税收。

• 税收向卖方征收：称为货物税（excise tax）；
• 税收向买方征收：称为销售税（sales tax）。

从量税对市场均衡有什么影响？——价格如何受影响？交易量如何受影响？谁承担了税收？交易的福利（总剩余）如何改变？

有税收时的均衡条件

税率 $t$ 使买方支付的价格 $p_b$ 比卖方净得到的价格 $p_s$ 高出 $t$：

$p_b-p_s=t$

即使存在税收，市场也一定会出清：买方在价格 $p_b$ 下的需求量必须等于卖方在价格 $p_s$ 下的供给量：

$D(p_b)=S(p_s)$

这两个条件共同描述了有税收时的市场均衡。注意：无论税收向买方还是卖方征收，这两个条件都成立——因此，对消费者征收 $t$ 的从量税和对生产者征收 $t$ 的从量税，效果完全相同。

图解：向卖方征税

卖方每售出一单位要缴 $t$，市场供给曲线向上移动 $t$：买方价格升为 $p_b>p^{\ast }$，交易量降为 $q^t<q^{\ast }$，卖方实际只得到 $p_s=p_b-t<p^{\ast }$。

图解：向买方征税

买方每购入一单位要缴 $t$，市场需求曲线向下移动 $t$：卖方价格降为 $p_s<p^{\ast }$，交易量降为 $q^t$，买方实际支付 $p_b=p_s+t$。

两种征收方式得到完全相同的 $(p_b,p_s,q^t)$：税对市场均衡的作用与法定纳税人是谁无关。

税收归宿

谁来支付每交易一单位商品的税收 $t$？买卖双方各分担的部分称为税收归宿（incidence of the tax）：

• 买方每单位承担 $p_b-p^{\ast }$；
• 卖方每单位承担 $p^{\ast }-p_s$；
• 两者之和恰好等于 $t$。

五、线性市场下的税收定量分析

设线性需求与线性供给（下标用于区分两条曲线的斜率）：

$D(p)=a-b_{b}p,S(p)=c+d_{s}p$

有税收时，市场均衡满足 $p_b=p_s+t$ 与 $D(p_b)=S(p_s)$，即

$a-b_b{p}_b=c+d_s{p}_s$

代入 $p_b=p_s+t$，解出卖方净价格：

$p_s=\frac{a-c-b_{b}t}{b_b+d_s}$

再由 $p_b=p_s+t$ 得买方价格：

$p_b=\frac{a-c+d_{s}t}{b_b+d_s}$

均衡交易量：

$q^t=D(p_b)=S(p_s)=a-b_b{p}_b=\frac{a{d}_s+b_{b}c}{b_b+d_s}-\frac{b_b{d}_s}{b_b+d_s}t$

与无税均衡的联系：当 $t\to 0$ 时，$p_s$ 与 $p_b$ 趋于无税（$t=0$）时的均衡价格，$q^t$ 趋于无税时的均衡交易量：

$p_s,p_b\to p^{\ast }=\frac{a-c}{b_b+d_s},q^t\to \frac{a{d}_s+b_{b}c}{b_b+d_s}$

比较静态：随着 $t$ 增大，$p_s$ 下降、$p_b$ 上升、$q^t$ 下降。

双方各分担多少？ 买方每单位实际多付：

$p_b-p^{\ast }=\frac{a-c+d_{s}t}{b_b+d_s}-\frac{a-c}{b_b+d_s}=\frac{d_s}{b_b+d_s}t$

卖方每单位实际少得：

$p^{\ast }-p_s=\frac{a-c}{b_b+d_s}-\frac{a-c-b_{b}t}{b_b+d_s}=\frac{b_b}{b_b+d_s}t$

政府得到的总税收（买卖双方缴纳之和）：

$T=t{q}^t=t\left(\frac{a{d}_s+b_{b}c}{b_b+d_s}-\frac{b_b{d}_s}{b_b+d_s}t\right)$

六、税收归宿与价格弹性

从量税的税收归宿取决于需求与供给的自身价格弹性。

用弹性表示归宿

税收使买方面临的价格变动为 $p_b-p^{\ast }$，需求量相应变动 $\Delta q$。在 $p=p^{\ast }$ 附近，需求的自身价格弹性近似为

${\epsilon }_D\approx \frac{\Delta q/q^{\ast }}{(p_b-p^{\ast })/p^{\ast }}=\frac{p^{\ast }}{q^{\ast }}\cdot \frac{\Delta q}{p_b-p^{\ast }}$

类似地，税收使卖方面临的价格变动为 $p_s-p^{\ast }$，供给的自身价格弹性近似为

${\epsilon }_S\approx \frac{\Delta q/q^{\ast }}{(p^{\ast }-p_s)/p^{\ast }}=\frac{p^{\ast }}{q^{\ast }}\cdot \frac{\Delta q}{p^{\ast }-p_s}$

（弹性均取大小。）同一个交易量变化 $\Delta q$ 同时满足两式：

$\frac{\Delta q}{q^{\ast }}={\epsilon }_D\frac{p_b-p^{\ast }}{p^{\ast }}={\epsilon }_S\frac{p^{\ast }-p_s}{p^{\ast }}$

于是得到税收归宿的弹性公式：

$\text{税收归宿}=\frac{p_b-p^{\ast }}{p^{\ast }-p_s}=\frac{{\epsilon }_S}{{\epsilon }_D}$

结论

• 税收 $t$ 中买方承担的比例随供给自身价格弹性的增大、或需求自身价格弹性的减小而增加；
• 对称地，卖方承担的比例随供给自身价格弹性的减小、或需求自身价格弹性的增大而增加。

直观理解：谁的弹性小、越”躲不开”这种商品，谁承担的税负就越多。

极端情形：当 ${\epsilon }_D=0$（需求曲线竖直）时，$q^t=q^{\ast }$、$p_s=p^{\ast }$，买方支付全部税收——即使这笔税在法律上是对卖方征收的。

七、无谓损失与价格弹性

对竞争性市场中的商品征收从量税，将减少市场的交易数量，并减少交易给买卖双方带来的总收益（即**消费者剩余（consumer surplus, CS）与生产者剩余（producer surplus, PS）**之和）。剩余的总损失中，一部分作为税收收入转移给政府，其余谁也没得到的部分就是税收带来的无谓损失（deadweight loss），也称超额负担（excess burden）。

看图：征税后消费者剩余缩为 CS，生产者剩余缩为 PS；矩形 $\text{Tax}=t\cdot q^t$ 转移给政府；在 $q^t$ 与 $q^{\ast }$ 之间，需求曲线高于供给曲线——这些交易本可创造正的净收益，却因征税而消失，其总和即红色三角形（无谓损失）。

无谓损失与弹性的关系

税收造成的无谓损失的大小，随市场需求自身价格弹性或供给自身价格弹性的增加而增加。为什么？——弹性越大，同样的税率造成的交易量扭曲 $q^{\ast }-q^t$ 越大，被放弃的正收益交易越多，损失越大。

极端情形：若 ${\epsilon }_D=0$ 或 ${\epsilon }_S=0$，则交易量不变（$q^t=q^{\ast }$），税收没有扭曲任何一桩交易，无谓损失为零（此时全部税负由无弹性的一方承担）。

八、练习与思考

练习1：轮胎市场（供给变动）

当地轮胎市场由下面的公式表示：$Q^D=3200-25P$，$Q^S=15P-800$，其中 $Q$ 是每周售出的轮胎数量，$P$ 为每只轮胎的价格。均衡价格是每只轮胎 100 美元，每周售出 700 只。假设轮胎生产技术的改进使生产成本更低，卖家在每一价格下都愿意出售更多轮胎——具体来说，每个价格下供给数量上升 200。

• a. 新的供给曲线是什么样子？
• b. 新的均衡价格和数量是多少？
• c. 由于这种改变，消费者和生产者的剩余会发生什么变化？

练习2：可乐市场（弹性与税收份额）

假设市场中可乐的需求和供给由下面的公式表示：$Q^D=15-10P$，$Q^S=40P-50$，其中 $Q$ 的单位是百万瓶/年，$P$ 是美元/瓶。可乐的均衡价格为每瓶 1.30 美元，并且每年销售 200 万瓶。

• a. 在均衡价格和数量时，计算需求的价格弹性和供给的价格弹性；
• b. 计算由消费者承担的税收份额和生产者承担的份额；
• c. 如果每瓶可乐征收 0.15 美元的税，那么买家将要支付的价格是多少？税后卖家会得到什么价格？

练习3：从量税的完整计算

给定需求和供给函数：$D(p)=1000-60p$，$S(p)=40p$。

1. 求均衡 $p$、$q$；
2. 当加数量税 $5 时，求新的均衡价格和数量；
3. 消费者和厂商各分担税收的百分比？
4. 税收带来的额外净损失是多少？

练习4：配额与配给券

需求和供给函数分别为：$D(p)=40-p$，$S(p)=10+p$。

1. 求均衡 $p$、$q$；
2. 如果对该商品进行配额管理，配额定为 20，价格定为厂商所能接受的最低价，问该价格是多少？
3. 假如配给券可以买卖，问配给券的价格是多少？

练习5：半价补贴（补贴的福利分析）

某产品市场需求函数为 $D=20-2p$，市场供给函数为 $S=2p-10$。若政府对该市场进行如下补贴：消费者在购买商品时，只需按市场价格一半进行付费，另一半由政府”买单”。

1. 补贴前的市场均衡价格、数量、消费者剩余、生产者剩余；
2. 进行补贴后的消费者剩余、生产者剩余及政府补贴量，并综合以上分析社会总福利水平的变化。

补贴与税收方向相反：补贴使交易量从 $q^{\ast }$ 扩大到 $q^{\prime }$，政府支出为整个补贴矩形；新增的 CS′ 与 PS′ 只消耗了这个矩形的一部分，其余部分成为福利净损失（deadweight loss）。

思考题

种粮补贴补给了谁？

（提示：把税收归宿的弹性逻辑反过来用——补贴的好处像税收负担一样，也按供需弹性在买卖双方之间分配。）

九、本节要点小结

• 均衡：$D(p^{\ast })=S(p^{\ast })$；价格高于 $p^{\ast }$ 有超额供给、价格必降，低于 $p^{\ast }$ 有超额需求、价格必升。
• 线性市场：$p^{\ast }=\frac{a-c}{b+d}$，$q^{\ast }=\frac{ad+bc}{b+d}$；用反函数在数量轴上求解等价。
• 特例：供给固定时价格全由需求决定（$p^{\ast }=\frac{a-c}{b}$）；供给水平时数量全由需求决定（$q^{\ast }=a-b{p}^{\ast }$）。
• 从量税：$p_b-p_s=t$ 且 $D(p_b)=S(p_s)$；向买方或卖方征收等价；$t$ 增大则 $p_b$ 升、$p_s$ 降、$q^t$ 降。
• 税收归宿：$\frac{p_b-p^{\ast }}{p^{\ast }-p_s}=\frac{{\epsilon }_S}{{\epsilon }_D}$——弹性小的一方承担更多。
• 无谓损失：随供需弹性增大而增大；任一方弹性为零时无谓损失为零。