中级微观15|市场需求

本章把前面各章的个人消费者选择加总为市场需求（market demand），并系统学习弹性（elasticity）：自身价格弹性（弧弹性与点弹性）、弹性与销售收入的关系、边际收益与弹性的关系，最后是收入弹性。

一、从个人需求到市场需求

市场需求函数

考虑一个包含 $n$ 个消费者的经济，$i=1,\dots ,n$。消费者 $i$ 对商品 $j$ 的普通需求函数（ordinary demand function）为

$x_j^i=x_j^i(p_1,p_2,m_i).$

当所有消费者都是价格接受者（price taker）时，商品 $j$ 的市场需求函数就是个人需求的加总：

$X_j(p_1,p_2,m_1,\dots ,m_n)={\sum }_{i=1}^n{x}_j^i(p_1,p_2,m_i).$

如果所有消费者都是同质的（identical），则

$X_j(p_1,p_2,M)=n{x}_j(p_1,p_2,m),\text{其中 }M=nm.$

市场需求曲线：个人需求的水平加总

市场需求曲线可以看作单个消费者需求曲线的水平加总（horizontal sum）：在每一价格下把各人的需求量横向相加。例如只有两个消费者 $i=A,B$：

在每个价格水平上把 A、B 的需求量相加，就得到带折点的市场需求曲线（低价处总量 $35=20+15$）：

代表性消费者模型

市场需求函数有一种特殊而重要的情形：若市场需求只取决于总财富、与财富的分配无关，即存在代表性消费者（representative consumer）：

$x_l(p,w_1,\dots ,w_I)=x_l\left(p,{\sum }_{i=1}^I{w}_i\right)$

——财富分配不影响市场需求量。成立的前提是：在给定价格水平下，对于任意商品、任意财富水平，每个消费者的收入效应相等：

$\frac{\partial x_{li}(p,w_i)}{\partial w_i}=\frac{\partial x_{lj}(p,w_j)}{\partial w_j}.$

几何含义：每个消费者的收入提供曲线（income offer curve）是直线，而且不同消费者的收入提供线相互平行。

市场需求函数的性质

• 连续性（continuity）；
• 满足瓦尔拉斯法则（Walras’ law）：一个经济体内，在任何一个市场中，如果所有其他市场是均衡的，那么那个特定的市场也必然是均衡的：

${\sum }_{i=1}^{I}p\cdot x_i(p,w_1,\dots ,w_I)={\sum }_{i=1}^I{w}_i;$

• 需求规律（law of demand）：如果商品 $l$ 对所有消费者而言都是正常商品，那么对该商品的市场需求函数满足需求规律。

需求量的变化与需求变化

• 自身价格变化 → 沿着需求曲线移动（需求量的变化）；
• 收入、偏好等其他因素变化 → 需求曲线整体移动（需求变化）。

离散商品的市场需求

对离散商品，需求由保留价格（reservation price）决定。设消费者 A 的保留价格为 $p_A$（购买 35 单位）、消费者 B 的保留价格为 $p_B$（购买 14 单位），则市场需求呈阶梯状：$p\ge p_A$ 时需求为 0；$p_B<p<p_A$ 时只有 A 购买（35 单位）；$p<p_B$ 时 A、B 都购买（$35+14=49$ 单位）。

集约边际与广延边际

• 集约边际（intensive margin）：价格变化时，消费者对每种商品仍都消费，只是调多调少一些；
• 广延边际（extensive margin）：在保留价格模型中，消费者作出是否进入某种商品市场的决定。

思考题：一个吸毒者的毒品需求函数也许非常缺乏弹性，但毒品的市场需求函数却可能很有弹性，为什么？——关键在广延边际：价格变化首先改变的是”是否进入市场”的人数，而单个消费者的消费量几乎不变。

二、弹性及其经济应用

弹性的定义

弹性（elasticity）衡量一个变量对另一个变量变化的敏感性（sensitivity）：

${\epsilon }_{x,y}=\frac{\%\Delta x}{\%\Delta y}$

即变量 $x$ 对变量 $y$ 的弹性 = $x$ 变化的百分比 $÷$ $y$ 变化的百分比。

弹性的经济应用

经济学家用弹性来衡量：

• 需求的自身价格弹性（own-price elasticity of demand）：商品 $i$ 的需求量对其自身价格变化的敏感程度；
• 需求的交叉价格弹性（cross-price elasticity of demand）：需求量对另一商品 $j$ 价格变化的敏感程度；
• 需求的收入弹性（income elasticity of demand）：需求量对收入变化的敏感程度；
• 供给的自身价格弹性（own-price elasticity of supply）：供给量对其自身价格变化的敏感程度；
• 供给关于劳动价格的弹性（elasticity of supply with respect to the price of labor）：供给量对工资率变化的敏感程度；
• 以及许多、许多其他弹性。

应用问题：临期机票为什么贵、临期演出票为什么便宜？

同样临近开演/起飞才出手，两种票的定价策略截然相反——学完弹性与收入的关系后可以回头解释这个差异。

三、需求的自身价格弹性

能否用斜率衡量敏感性？

Q：能否用需求曲线的斜率来衡量需求量对商品自身价格的敏感程度？

A：不能，因为斜率的取值依赖于衡量需求量的单位。同一条需求曲线，按”10 件装”（10-packs）计量斜率是 $-2$，按”单件”（single units）计量斜率是 $-0.2$；但同样的降价幅度下，两种记法给出的需求量变化百分比完全相同。

需求的自身价格弹性定义为

${\epsilon }_{X_1^{\ast },p_1}=\frac{\%\Delta X_1^{\ast }}{\%\Delta p_1},$

它是一个没有度量单位的百分比比率，因此是独立于测量单位的敏感性指标。

弧弹性与点弹性（一般公式）

设两个经济变量的函数关系为 $Y=f(X)$，则

$e=\frac{\Delta Y/Y}{\Delta X/X}=\frac{\Delta Y}{\Delta X}\cdot \frac{X}{Y}(\text{弧弹性})$

当 $\Delta X\to 0$ 且 $\Delta Y\to 0$ 时，上式化为：

$e={\lim }_{\Delta X\to 0}\frac{\Delta Y/Y}{\Delta X/X}=\frac{dY}{dX}\cdot \frac{X}{Y}(\text{点弹性})$

对商品 $i$ 在一个价格区间（prices interval）上计算的”平均”自身价格弹性是弧弹性（arc elasticity），通常用中点公式（mid-point formula）计算；对单一价格值计算的弹性是点弹性（point elasticity）。

自身价格的弧弹性

在以 $p_i^{\prime }$ 为中心的价格区间 $[p_i^{\prime }-h,p_i^{\prime }+h]$ 内，需求的”平均”自身价格弹性是多少？记价格从 $p_i^{\prime }-h$ 升到 $p_i^{\prime }+h$ 时，需求量从 $X_i^{\prime \prime \prime }$ 降到 $X_i^{\prime \prime }$：

价格变化百分比（以中心价格 $p_i^{\prime }$ 为基点）与需求量变化百分比（中点公式）分别为

$\%\Delta p_i=100\times \frac{2h}{p_i^{\prime }},\%\Delta X_i=100\times \frac{X_i^{\prime \prime }-X_i^{\prime \prime \prime }}{(X_i^{\prime \prime }+X_i^{\prime \prime \prime })/2},$

于是

${\epsilon }_{X_i^{\ast },p_i}=\frac{\%\Delta X_i}{\%\Delta p_i}=\frac{(X_i^{\prime \prime }-X_i^{\prime \prime \prime })/\left[(X_i^{\prime \prime }+X_i^{\prime \prime \prime })/2\right]}{2h/p_i^{\prime }}$

就是需求的自身价格弧弹性。

自身价格的点弹性

在以 $p_i^{\prime }$ 为中心的非常小的价格区间内，令 $h\to 0$，$X_i^{\prime \prime }$、$X_i^{\prime \prime \prime }$ 都趋于 $X_i^{\prime }$，弧弹性收敛为

${\epsilon }_{X_i^{\ast },p_i}=\frac{p_i^{\prime }}{X_i^{\prime }}\times \frac{d{X}_i^{\ast }}{d{p}_i}$

这就是在点 $(X_i^{\prime },p_i^{\prime })$ 处的点弹性。

四、点弹性的例子与弹性分类

例1：线性需求

设 $p_i=a-b{X}_i$，于是 $X_i=(a-p_i)/b$，且

$\frac{d{X}_i^{\ast }}{d{p}_i}=-\frac{1}{b}.$

因此

${\epsilon }_{X_i^{\ast },p_i}=\frac{p_i}{X_i^{\ast }}\cdot \frac{d{X}_i^{\ast }}{d{p}_i}=\frac{p_i}{(a-p_i)/b}\times \left(-\frac{1}{b}\right)=-\frac{p_i}{a-p_i}.$

沿线性需求曲线的弹性分布

把 $\epsilon =-\frac{p_i}{a-p_i}$ 沿曲线逐点看：

• 纵轴截距处 $p_i=a$（数量为 0）：$\epsilon =-\infty$；
• 中点 $p_i=a/2$（数量 $a/2b$）：$\epsilon =-1$（单位弹性 unit elastic）；
• 横轴截距处 $p_i=0$（数量 $a/b$）：$\epsilon =0$。

由此得到弹性分类：

• $\epsilon <-1$（$|\epsilon |>1$）：富有弹性（own-price elastic），位于曲线中点以上的上半段；
• $\epsilon =-1$：单位弹性（unit elastic）；
• $-1<\epsilon <0$（$|\epsilon |<1$）：缺乏弹性（own-price inelastic），位于中点以下的下半段。

例2：幂形式与不变弹性需求

设 $X_i^{\ast }=k{p}_i^a$，取 $a=-2$：

$X_i^{\ast }=k{p}_i^{-2}=\frac{k}{p_i^2},\frac{d{X}_i^{\ast }}{d{p}_i}=ka{p}_i^{a-1}.$

代入点弹性定义：

${\epsilon }_{X_i^{\ast },p_i}=\frac{p_i}{X_i^{\ast }}\cdot \frac{d{X}_i^{\ast }}{d{p}_i}=\frac{p_i}{k{p}_i^a}\times ka{p}_i^{a-1}=a=-2,$

即整条需求曲线上弹性处处等于 $-2$。更一般地，弹性不变的需求函数可写成

$x(p)=A{p}^{-{\epsilon }_0}⟹\epsilon =\frac{p}{x(p)}\cdot \frac{dx}{dp}=-{\epsilon }_0,$

曲线上每一点的弹性都相同。

价格弹性的决定因素

1. 该商品支出占总支出的比重越小，弹性越小；
2. 该商品的替代品越多，弹性越大；
3. 奢侈品的弹性高于必需品的弹性；
4. 时间：长期弹性高于短期弹性（搜寻信息、改变消费习惯都需要时间，因此长期需求曲线比短期需求曲线更有弹性）。

练习

1. 选择题：消费者对奶酪的需求函数为 $D(p)=(p+1{)}^{-2}$，价格 $p=10$ 时需求的价格弹性是多少？ 解：$D^{\prime }(p)=-2(p+1{)}^{-3}$，故 $\epsilon =\frac{p}{D(p)}\cdot D^{\prime }(p)=\frac{10\times (-2/1331)}{1/121}=-\frac{20}{11}\approx -1.82$，选 E。
2. 工作簿 15.0 热身练习：求每个需求函数的价格弹性表达式（答案一般是价格 $p$ 的函数）。课件示例：$D(p)=30-6p$，$\frac{dD}{dp}=-6$，$\frac{p}{q}=\frac{p}{30-6p}$，故 $\epsilon =\frac{-6p}{30-6p}$。按同样方法：
   • (a) $D(p)=60-p$：$\epsilon =-\frac{p}{60-p}$；
   • (b) $D(p)=a-bp$：$\epsilon =-\frac{bp}{a-bp}$；
   • (c) $D(p)=40p^{-2}$：$\epsilon =-2$；
   • (d) $D(p)=A{p}^{-b}$：$\epsilon =-b$；
   • (e) $D(p)=(p+3{)}^{-2}$：$\epsilon =-\frac{2p}{p+3}$；
   • (f) $D(p)=(p+a{)}^{-b}$：$\epsilon =-\frac{bp}{p+a}$。

五、自身价格弹性与销售收入

直觉

• 如果提高商品的价格只导致需求量的微小下降，卖方的收入将上升——因此商品缺乏弹性（inelastic）时，提价带来收入增加；
• 如果提价导致需求量较大的下降，卖方的收入将下降——因此商品富有弹性（elastic）时，提价带来收入下降。

推导

卖方的收入是

$R(p)=p\cdot X(p).$

对价格求导：

$\frac{dR}{dp}=X(p)+p\frac{dX}{dp}=X(p)\left[1+\frac{p}{X(p)}\frac{dX}{dp}\right]=X(p)[1+\epsilon ].$

三种情况

• 若 $\epsilon =-1$：$\frac{dR}{dp}=0$，价格的变化不改变销售者的收入；
• 若 $-1<\epsilon <0$：$\frac{dR}{dp}>0$，价格上升增加销售者的收入；
• 若 $\epsilon <-1$：$\frac{dR}{dp}<0$，价格上升降低销售者的收入。

总结：

需求弹性	分类	$\frac{dR}{dp}$	价格上升对卖方收入的影响
$\epsilon <-1$	富有自身价格需求弹性	$<0$	降低收入
$\epsilon =-1$	单位自身价格需求弹性	$=0$	收入不变
$-1<\epsilon <0$	缺乏自身价格需求弹性	$>0$	提高收入

应用口径：当需求缺乏弹性时，提价可以增加总收益（“攫取垄断价格”）；当需求富有弹性时，降价可以促进总收益增加（“薄利多销”）。

谷贱伤农与薄利多销

• “谷贱伤农”：粮食是需求缺乏弹性的商品（$e_d<1$），降价反而使卖方总收益减少；
• “薄利多销”：对需求富有弹性的商品（$e_d>1$），降价将促进总收益增加。

练习

1. 已知某种商品的需求是富有弹性的，假定其他条件不变，卖者要想获得更多的收益，应该：A、适当降低价格；B、适当提高价格；C、保持价格不变。——答：A（降价增加需求量的幅度大于降价的幅度，总收益增加）。
2. 通过”薄利多销”的方法降价来增加总收益的商品是：化妆品 / 面粉 / 药品。——答：化妆品（需求富有弹性；面粉、药品接近必需品，需求缺乏弹性）。
3. 为什么化妆可以薄利多销而药品却不行？是不是所有的药品都不能薄利多销？ 答：(1) 化妆品是需求富有弹性的商品，小幅度的降价可使需求量有较大幅度的增加，从而使总收益增加；而药品是需求缺乏弹性的商品，降价只能使总收益减少。(2) 并不是所有的药都不能薄利多销，例如一些滋补药品，其需求是富有弹性的，可以薄利多销。

六、边际收益与需求弹性

边际收益的定义

卖方的边际收益（marginal revenue）：销售量每变化一单位时，卖方收入的变化量：

$MR(q)=\frac{dR(q)}{dq}.$

边际收入与弹性的关系

设 $p(q)$ 是卖方的反需求函数（inverse demand function），即能卖出 $q$ 单位时的价格。由 $R(q)=p(q)q$：

$MR(q)=\frac{dR(q)}{dq}=p(q)+q\frac{dp(q)}{dq}=p(q)\left[1+\frac{q}{p(q)}\frac{dp(q)}{dq}\right].$

由点弹性定义 $\epsilon =\frac{p}{q}\cdot \frac{dq}{dp}$ 可知 $\frac{q}{p}\cdot \frac{dp}{dq}=\frac{1}{\epsilon }$，所以

$MR(q)=p(q)\left[1+\frac{1}{\epsilon }\right].$

即边际收入取决于需求的自身价格弹性（课件按弹性取负值的约定）：

• 若 $\epsilon <-1$（富有弹性）：$MR(q)>0$，多卖一单位将增加卖者的收入；
• 若 $\epsilon =-1$（单位弹性）：$MR(q)=0$，多卖一单位不改变卖者的收入；
• 若 $-1<\epsilon <0$（缺乏弹性）：$MR(q)<0$，多卖一单位将减少卖者的收入。

因此：当需求缺乏弹性时，由于 $MR(q)<0$，提价使需求减少，总收益增加；当需求富有弹性时，由于 $MR(q)>0$，降价使需求增加，总收益增加。

线性需求的例子

$p(q)=a-bq⟹R(q)=p(q)q=(a-bq)q=aq-b{q}^2⟹MR(q)=a-2bq.$

$MR$ 曲线与需求曲线同截距 $a$、斜率加倍，在 $q=a/2b$ 处降为 0——这正是 $\epsilon =-1$（单位弹性）的产量；总收益 $R(q)$ 恰在该产量达到最大（对应 $q$ 超过 $a/2b$ 后 $MR<0$、收入回落）。

应用：禁毒增加还是减少了与毒品相关的犯罪？

• 毒品需求弹性小（对某些人是”必需品”），而供给弹性大；
• 禁毒（查毒禁毒）是控制供给：供给曲线左移，价格大幅上升；
• 控制需求更为重要：反毒品教育是控制需求（需求曲线左移）。

七、收入弹性

收入弹性（income elasticity）用来描述需求量对收入变化的敏感程度：

${\epsilon }_{x_1^{\ast },m_1}=\frac{\%\Delta x_1^{\ast }}{\%\Delta m_1}.$

按收入弹性的符号与大小分类：

• 正常商品（normal good）：收入弹性是正的；
• 低档商品（inferior good，课件作”抵挡商品”）：收入弹性是负的；
• 高档商品（luxury good）：收入弹性大于 1。

还有一个结论：一个人的总的收入弹性等于 1。

附：综合练习

消费者对商品 $x$ 和在其它商品上的开支 $y$（价格为 1）的效用函数为

$u(x,y)=x-\frac{x^2}{2}+y.$

1. 市场上有完全同样的消费者 100 人，写出 $x$ 的市场需求函数；
2. $x$ 该如何定价使销售收入最大？此时价格弹性是多少？

（提示：第 1 问用效用最大化的一阶条件求出单个消费者的需求，再乘 100 加总；第 2 问利用本节结论——收入最大当且仅当 $MR=0$，即 $\epsilon =-1$。）