中级微观09|购买和销售

Varian《中级微观经济学》第9章（Buying and Selling 购买和销售）。此前各章把货币收入 $m$ 当作给定数，没有追问收入从哪里来。本章引入禀赋（endowment）：消费者先靠出售自己拥有的资源获得收入，再进行消费。交换的本质是：有买必有卖（when something is bought, something else must be sold）。

本章路线：禀赋 → 预算约束 → 净需求 → 价格提供曲线 → 修正的斯勒茨基方程 → 案例：劳动供给。

核心问题：

• 消费者会买什么、卖什么？谁是买者、谁是卖者？
• 收入如何产生？收入的价值如何随商品价格变化？
• 把收入内生化之后，如何更好地解释价格变化对需求的影响？

记号说明：中文课件把禀赋记作 $(w_1,w_2)$，本笔记统一用 $\omega$（与两套课件的图形一致）。

一、禀赋、总需求与净需求

基本概念

• 禀赋（endowment）：消费者一开始拥有的资源向量，记 $\omega =({\omega }_1,{\omega }_2)$。例如 $\omega =(10,2)$ 表示拥有 10 单位商品 1 和 2 单位商品 2。
• 总需求（gross demand） $(x_1,x_2)$：实际消费的数量。
• 净需求（net demand） $(x_1-{\omega }_1,x_2-{\omega }_2)$：实际消费与初始禀赋的差额。
  • 净需求为正 → 该商品的净购买者（net buyer）（消费者）；
  • 净需求为负 → 该商品的净销售者（net seller）（供给者）。

一个数值例子

取 $\omega =(10,2)$，$p_1=2,p_2=3$，则禀赋价值 $m=2\times 10+3\times 2=26$。若最优选择为 $(x_1^{\ast },x_2^{\ast })=(7,4)$，净需求为

$x_1^{\ast }-{\omega }_1=7-10=-3,x_2^{\ast }-{\omega }_2=4-2=+2$

即卖出 3 单位商品 1，换回 2 单位商品 2。验证：

$p_1(x_1^{\ast }-{\omega }_1)+p_2(x_2^{\ast }-{\omega }_2)=2\times (-3)+3\times (+2)=0$

以每单位 3 元买进 2 单位商品 2 的钱，恰好由以每单位 2 元卖出 3 单位商品 1 来融资。

二、包含禀赋的预算约束

预算约束与预算集

给定价格 $(p_1,p_2)$，禀赋的货币价值为 $m=p_1{\omega }_1+p_2{\omega }_2$。可以交换到哪些消费束？消费的价值不超过禀赋的价值即可，最优选择处两者相等：

$p_1{x}_1+p_2{x}_2=p_1{\omega }_1+p_2{\omega }_2$

预算集（budget set）：

$\{(x_1,x_2)\mid p_1{x}_1+p_2{x}_2\le p_1{\omega }_1+p_2{\omega }_2,x_1\ge 0,x_2\ge 0\}$

用净需求表示

$p_1(x_1-{\omega }_1)+p_2(x_2-{\omega }_2)=0$

即净购买的价值 = 净销售的价值（消费者净需求的价值总和为零）：

• 实际消费点位于禀赋点以左：他是商品 2 的净购买者、商品 1 的净销售者；
• 实际消费点位于禀赋点以右：他是商品 1 的净购买者、商品 2 的净销售者。

三、禀赋与价格的变动：预算线怎么动？

禀赋变动：平行移动

价格不变、禀赋变动时（记新禀赋为 $({\omega }_1^{\prime },{\omega }_2^{\prime })$）：

• 若 $p_1{\omega }_1^{\prime }+p_2{\omega }_2^{\prime }>p_1{\omega }_1+p_2{\omega }_2$（禀赋价值提高），预算线向外平行移动；
• 若 $p_1{\omega }_1^{\prime }+p_2{\omega }_2^{\prime }<p_1{\omega }_1+p_2{\omega }_2$（禀赋价值降低），预算线向内平行移动。

禀赋价值越高，预算集越大（斜率不变，只有水平位置变化）。

价格变动：绕禀赋点转动

禀赋数量不变、价格变化时，预算线围绕禀赋点转动：

$p_1{x}_1+p_2{x}_2=p_1{\omega }_1+p_2{\omega }_2⟶p_1^{\prime }{x}_1+p_2{x}_2=p_1^{\prime }{\omega }_1+p_2{\omega }_2$

$p_1$ 相对下降，预算线变得较平缓。

关键直觉：禀赋点（endowment point）永远在预算线上——无论价格怎么变，把禀赋按市价卖出再原样买回，恰好等于禀赋价值。这与固定货币收入的情形（价格变动 → 预算线平移）有本质区别。

价格变动的福利影响

分析工具：把原最优消费束 $x^{\prime }$ 与新预算线、新选择比较（显示偏好）。$x^{\prime }$ 始终买得起吗？不一定——但新旧预算线都过禀赋点，可按角色分类讨论。

情形一：$p_1$ 下降

原角色	继续充当原角色	转变角色
净销售者（$x_1-{\omega }_1<0$）	新消费束位于禀赋点以左的新预算线上，所有选择都比原消费束差，福利一定受损	转为净购买者：新消费点在禀赋点以右的新预算线上，福利好坏无法判断
净购买者（$x_1-{\omega }_1>0$）	原消费点落入新预算集内部（同样购买还有余钱），福利一定提高	转为净销售者：新消费点在旧预算集内部，福利一定受损

结论：$p_1$ 下降时，净购买者一定继续充当净购买者。

情形二：$p_1$ 上升

原角色	继续充当原角色	转变角色
净销售者（$x_1-{\omega }_1<0$）	原消费点落入新预算集内部，福利一定提高	转为净购买者：福利一定受损
净购买者（$x_1-{\omega }_1>0$）	福利一定受损	转为净销售者：福利好坏无法判断

结论：$p_1$ 上升时，净销售者一定继续充当净销售者。

四、价格提供曲线与需求曲线

价格提供曲线

价格提供曲线（price offer curve）：随价格变动，包含所有”用禀赋可以交换到的”使效用最大化的总需求点。它总是经过禀赋点。

按价格水平分三种情形：

1. 在价格 $(p_1,p_2)$ 下，消费者出售商品 1、购买商品 2（选择点在禀赋点以左）：

2. 在价格 $(p_1^{\prime },p_2^{\prime })$ 下，消费者购买商品 1、出售商品 2（选择点在禀赋点以右）：

3. 在某个中间价格 $(p_1^{\prime \prime },p_2^{\prime \prime })$ 下，消费者恰好消费自己的禀赋，净需求全为零：

总需求、净需求与净供给曲线

在 $(p_1,x_1)$ 平面上可从价格提供曲线导出三条曲线（教材图 9.6）：

• 总需求曲线 $x_1(p_1,m)$；
• 净需求曲线 $d_1=x_1-{\omega }_1$：把总需求曲线整体左移 ${\omega }_1$（“相同曲线”）；
• 净供给曲线 $s_1={\omega }_1-x_1$：净需求曲线的镜像（“相同曲线但转向”）。

三者关系：$p_1>p_1^{\ast }$ 时消费者净销售商品 1，$p_1<p_1^{\ast }$ 时净购买，$p_1=p_1^{\ast }$ 时恰好自给自足（净需求为 0）。

五、修正的斯勒茨基方程（Slutsky Equation, Revised）

为什么要修正

原斯勒茨基方程把价格变化引起的需求变化分解为：

• 一个纯替代效应（pure substitution effect）；
• 一个（普通）收入效应（ordinary income effect）。

其前提是货币收入 $y$ 不随价格变化。但现在 $y=m=p_1{\omega }_1+p_2{\omega }_2$ 本身随价格变化——$p_1$ 或 $p_2$ 的变动都会改变禀赋价值，产生一个额外的收入效应，即禀赋收入效应（endowment income effect）。

于是分解有三个组成部分，需求的总变动为：

$\text{需求的总变动}=\text{替代效应}+\text{普通收入效应}+\text{禀赋收入效应}$

设初始价格为 $(p_1^{\prime },p_2^{\prime })$、最终价格为 $(p_1^{\prime \prime },p_2^{\prime \prime })$，下图依次追踪三个效应（橙点 → 蓝 → 绿 → 红）：

禀赋收入效应的分解

禀赋收入效应 = 收入变化对需求的影响 × 价格变化对收入的影响：

$\text{禀赋收入效应}=\frac{\Delta m}{\Delta p_1}\cdot \frac{\Delta x_1^m}{\Delta m}$

禀赋不变时，价格变化使货币收入同方向变动。若变化的是 $p_1$，则 $\Delta m/\Delta p_1={\omega }_1$。将其代入（固定货币收入的）斯勒茨基方程

${\frac{\partial x_1}{\partial p_1}|}_m=\frac{\partial x_1^s}{\partial p_1}-x_1\frac{\partial x_1^m}{\partial m}$

再加禀赋收入效应 ${\omega }_1\frac{\partial x_1^m}{\partial m}$，得修正的斯勒茨基方程：

$\frac{\partial x_1}{\partial p_1}=\frac{\partial x_1^s}{\partial p_1}+({\omega }_1-x_1)\frac{\partial x_1^m}{\partial m}$

（课件用差分形式 $\frac{\Delta x_1}{\Delta p_1}=\frac{\Delta x_1^s}{\Delta p_1}+({\omega }_1-x_1)\frac{\Delta x_1^m}{\Delta m}$，两者等价。）

净买者与净卖者的不同含义

设 $x_1$ 是正常商品（$\Delta x_1^m/\Delta m>0$，收入效应为正），替代效应为负（$\Delta x_1^s/\Delta p_1<0$）。二者的净影响取决于 ${\omega }_1-x_1$ 的符号，分两种情况：

1. 净需求者（净购买者）：${\omega }_1-x_1<0$。$p_1$ 下降时替代效应与收入效应同向，需求一定增加，满足需求定律（需求曲线向右下方倾斜）；
2. 净供给者（净销售者）：${\omega }_1-x_1>0$。禀赋收入效应与替代效应方向相反，总效应符号不确定——$p_1$ 下降时需求可能增加，也可能减少。

六、案例演算：奶农对牛奶的消费

奶农自己生产牛奶，每期产量 40（英文课件：周产 40 夸脱；中文课件：月产 40 公斤），即 $\omega =40$。他对牛奶的需求函数为

$x(p,m)=10+\frac{m}{10p}$

初始价格 $p=3$ 元，比较降价（$p_1^{\prime }=2$）与涨价（$p_1^{\prime \prime }=4$）两种情形：

价格 $p$	总收入 $m=40p$	需求 $x(p,m)$	固定货币收入下的需求 $x(p,120)$	禀赋的收入效应
3	120	14	14	—
2	80	14	16	$-2$
4	160	14	13	$+1$

计算过程：

• $p=3$：$m=3\times 40=120$，$x(3,120)=10+120/30=14$；
• $p=2$：$m=80$，$x(2,80)=10+80/20=14$；若货币收入固定在 120，$x(2,120)=10+120/20=16$；
• $p=4$：$m=160$，$x(4,160)=10+160/40=14$；固定收入下 $x(4,120)=10+120/40=13$。

例题1（价格由 3 降为 2）：

1. 需求总效应：$14-14=0$；
2. 固定货币收入（120）下需求变化：$16-14=+2$（严格说这是替代效应与普通收入效应之和，课件在此合并计为普通收入效应）；禀赋收入效应：$14-16=-2$。两项恰好抵消，总效应为 0。

直观解释：奶农是牛奶的净销售者。价格下降使固定收入下的需求上升（$+2$），但同时令禀赋价值从 120 缩水到 80，禀赋收入效应为负（$-2$），两者抵消。反之若价格涨到 4，禀赋收入效应为 $+1$，部分抵消固定收入下需求的下降（$13-14=-1$）。

七、例题：Mario（小马）的茄子和西红柿

（Varian 练习册 9.2）Mario 有个小园子，种着茄子和西红柿：一部分自己消费，一部分拿到市场上卖。对他来说两者是 1:1 的完全互补品（他只知道按 1:1 的比率烹制这两种蔬菜）。某周收成：30 磅茄子、10 磅西红柿（按”西红柿 $t$、茄子 $e$“计，禀赋 $(t,e)=(10,30)$），当时两种蔬菜价格均为每磅 5 美元。

(a) 禀赋的货币价值：$5\times 10+5\times 30=200$ 美元。

(b) 原价格下的预算线与最优选择：预算线为过禀赋点 $(10,30)$、斜率 $-1$ 的直线 $5t+5e=200$。完全互补 1:1，最优满足 $t=e$：$10t=200\Rightarrow t=e=20$。Mario 最后消费 20 磅西红柿、20 磅茄子（图中点 A）——即卖出 10 磅西红柿、买进 10 磅茄子。

(c) 交易前西红柿涨到 15 美元/磅（茄子仍 5 美元）：禀赋价值 $=15\times 10+5\times 30=300$ 美元。新预算线 $15t+5e=300$，$t=e$：$20t=300\Rightarrow t=e=15$。他会选择 15 磅西红柿、15 磅茄子。

(d) 先卖光再买回：Mario 在市场上以总价 200 美元卖出全部产品，打算买回茄子与西红柿；在购买之前西红柿涨到 15 美元：预算线 $15t+5e=200$，$t=e=10$。最优消费 10 磅西红柿、10 磅茄子。

(e) 效应分解（交易前价格由 5 涨到 15，西红柿需求从 20 变到 15）：

效应	变化量	说明
替代效应	$0$	完全互补品没有替代效应
普通收入效应	$-10$	货币收入固定在原禀赋价值 200 美元时，需求由 20 降至 10
禀赋收入效应	$+5$	按新价格禀赋价值升至 300 美元，收入由 200 增至 300，需求由 10 回升至 15
总效应	$-5$	$0-10+5=-5$

八、劳动供给（Labor Supply）

预算约束：消费与闲暇的权衡

设：$C$ 为商品消费，$p_c$ 为商品价格，$w$ 为工资率，$\bar{m}$ 为非劳动收入（non-labor income），$\bar{R}$ 为全部可用时间（可用于劳动或闲暇休闲 leisure）。禀赋为 $(\bar{R},\bar{m})$：全部劳动时间 + 非劳动收入。

劳动收入加上非劳动收入全部花在消费上（$L=\bar{R}-R$ 为实际劳动供给，$R$ 为实际闲暇消费）：

$p_{c}C=w(\bar{R}-R)+\bar{m}$

改写成”消费品 $C$ + 闲暇 $R$“两商品的标准形式：

$p_{c}C+wR=w\bar{R}+\bar{m}$

右边 $w\bar{R}+\bar{m}$ 称为消费者的完全收入/隐含收入（full income）：把全部时间都投入劳动、连同非劳动收入的总价值。

整理成斜截式：

$C=-\frac{w}{p_c}R+\frac{w\bar{R}+\bar{m}}{p_c}$

斜率 $-w/p_c$ 即真实工资率（real wage rate）。$w$ 有双重身份：既是闲暇的价格（机会成本），又是劳动的报酬。

最优劳动供给选择

最优点在无差异曲线与预算线相切处：闲暇对消费的边际替代率 = 真实工资 $w/p$。

工资变动的比较静态与背弯的劳动供给曲线

对闲暇（其禀赋为 $\bar{R}$）应用修正的斯勒茨基方程：

$\frac{\Delta R}{\Delta w}=\frac{\Delta R^s}{\Delta w}+(\bar{R}-R)\frac{\Delta R^m}{\Delta m}$

• 替代效应 $\Delta R^s/\Delta w<0$：工资上升 → 闲暇变贵 → 减少闲暇、多劳动；
• 禀赋收入效应：假定闲暇是正常品（$\Delta R^m/\Delta m>0$），而 $\bar{R}-R$（= 劳动供给量）恒为正，所以工资上升使时间禀赋价值上升、收入增加，反而增加闲暇需求；
• 总效应不确定：$\Delta R/\Delta w<0$ 或 $>0$ 都可能。劳动供给量 $\bar{R}-R$ 越大，$\Delta R/\Delta w>0$（工资越高越少劳动）越可能发生。

因此劳动供给曲线可能先向右上方倾斜、超过临界工资 $\tilde{w}$ 后向后弯曲——背弯的劳动供给曲线（backward-bending labor supply curve）：工资提高到一定程度后再提高，反而减少劳动供给。

案例：加班工资

比较两种提高报酬的方式：对所有工时统一提高工资 vs 只对超出标准的加班时间支付更高工资（加班工资）。

结论：在加班工资安排下，工人总是愿意增加一定量的劳动。图中加班工资预算线只在加班段（禀赋点以左）变陡，带来的收入效应小；而”对所有工时付较高工资”的预算线整体变陡，收入效应更强——其后最优选择所增加的劳动少于加班工资安排。

课后作业

教材 P119 课后习题 1–6；学习通习题。