中级微观08|斯勒茨基方程

本章要点

• 替代效应（substitution effect）和收入效应（income effect）的概念
• 两种效应的图示表达：预算线的”转动”与”移动”
• 替代效应和收入效应的计算
• 特殊效用函数（完全替代、完全互补、拟线性）下两种效应的计算
• 希克斯替代效应（Hicks substitution effect）与斯勒茨基替代效应的对比

价格变化的总效应：两条渠道

需求法则：对正常商品（normal good）来说，当商品的价格下降时，消费者对它的需求量会上升。为什么？原因是存在两个效应。

替代效应：商品 1 的价格变化以后，市场上两种商品之间的替换比率发生了变化。预算线 $p_1{x}_1+p_2{x}_2=m$ 的斜率为 $p_1/p_2$，即增加一单位 $x_1$ 要放弃 $p_1/p_2$ 单位 $x_2$。当 $p_1^{\prime }<p_1$ 时，商品 1 相对便宜，替换比率 $p_1^{\prime }/p_2$ 减小，消费者愿意用它去替代其它商品。由交换比率变化引起的需求变化称为替代效应。

收入效应：消费者的货币收入没有变，但商品 1 价格下降意味着拥有的货币可以购买更多的商品 1，购买力增强了——就如同收入增加一样。由于具有了更高的购买力而引起的需求变化称为收入效应。

斯勒茨基（Slutsky）发现：价格变化导致的需求量变化是替代效应和收入效应的总和。两种效应可以分别用预算线的转动（交换比率变化 → 替代效应）和移动（购买力变化 → 收入效应）来表示和计算。

替代效应：预算线的转动

补偿预算线

研究替代效应时，只考虑商品 1 价格变化带来的交换比率变化所引起的需求量变化，不考虑实际购买力上升引起的变化。

做法：让新价格下的预算线绕原消费束转动，得到补偿预算线（compensated budget line）$B^{\prime \prime }$——它的斜率与价格变化后的预算线 $B^{\prime }$ 相同（交换比率相同），但仍经过初始消费束 $(x_1,x_2)$。初始消费束既在原预算线上、也在 $B^{\prime \prime }$ 上，说明经过这样的转动，消费者的购买力没有变。

斯勒茨基对”实际收入”的界定：在新价格条件下，如果购买原消费束只需要更少的收入，“实际收入”就增加；如果需要更多的收入，“实际收入”就减少。

无差异曲线与 $B^{\prime \prime }$ 相切于 $(x_1^{\prime \prime },x_2^{\prime \prime })$——它是”价格已变、购买力不变”条件下的最佳消费束。

$(x_1,x_2)\to (x_1^{\prime \prime },x_2^{\prime \prime })$

就是替代效应：指当价格变动但购买力保持不变时，消费者如何用一种商品来”替代”其它商品。

替代效应的计算

原预算线与补偿预算线分别为：

$P_1{X}_1+P_2{X}_2=M$

$P_1^{\prime }{X}_1+P_2{X}_2=M^s$

两式都过原消费束 $(X_1,X_2)$，相减可得：

$(P_1^{\prime }-P_1)X_1=M^s-M$

即：使原消费束按新价格恰好仍能买得起的收入变动，等于商品 1 原消费量与价格变动量的乘积：

$\Delta m=\Delta p_1\cdot x_1$

解释：

1. 商品 1 价格下降：购买力上升，要保持购买力不变必须减少消费者的收入（减少对商品 1 的实际支出）；
2. 商品 1 价格上升：购买力下降，要保持购买力不变必须增加消费者的收入。

因此替代效应有时又叫做补偿的需求变动：价格上升时，消费者被给予足够的收入作为补偿以购买他原有的消费束；价格下降时，对他的”补偿”就是从他那里取走一些收入。这里的补偿是广义的。

收入效应：预算线的平移

第二步：让价格保持在 $(p_1^{\prime },p_2)$，把收入由 $M^s$ 增加到 $M$，预算线由 $B^{\prime \prime }$ 平行移动到 $B^{\prime }$，最佳消费束由 $(x_1^{\prime \prime },x_2^{\prime \prime })$ 变为 $(x_1^{\prime },x_2^{\prime })$。

$(x_1^{\prime \prime },x_2^{\prime \prime })\to (x_1^{\prime },x_2^{\prime })$

就是收入效应：指商品 1 的价格保持在 $p_1^{\prime }$、收入由 $M^s$ 增加到 $M$ 时，商品 1 需求量的变动。写成需求函数：

$\Delta x_1^n=x_1(p_1^{\prime },M)-x_1(p_1^{\prime },M^s)$

总效应与斯勒茨基方程

总效应（实际货币收入不变时，价格变动引起的需求变动）：

$\Delta x_1=x_1(p_1^{\prime },M)-x_1(p_1,M)$

需求变动可分解成替代效应和收入效应两部分：

$\Delta x_1=\Delta x_1^s+\Delta x_1^n=\left[x_1(p_1^{\prime },M^s)-x_1(p_1,M)\right]+\left[x_1(p_1^{\prime },M)-x_1(p_1^{\prime },M^s)\right]$

第一项是替代效应（新价格、补偿收入 $M^s$ 与原价格、原收入之差），第二项是收入效应（新价格下原收入与补偿收入之差）。需求的总变动等于替代效应和收入效应的和，这就是斯勒茨基方程（Slutsky equation），也称斯勒茨基恒等式。

写成变化率形式（$x_1^m$ 表示马歇尔需求 Marshallian demand，即普通需求函数；$x_1^s$ 表示补偿后的斯勒茨基需求）：

$\frac{\partial x_1^s}{\partial p_1}=\frac{\partial x_1^m}{\partial p_1}-x_1^m\frac{\partial x_1^m}{\partial m}$

替代效应的符号：为什么必与价格反向？

价格下降后，过原消费束的预算线斜率变小、向右上方转动；新预算线在原消费束右边的部分必定在原预算线的上方，该部分上的点满足 $x_1^{\prime \prime }\ge x_1$。又因原消费束是原预算线下的最优选择，右边的点都具有更高的偏好，最优选择肯定在右边——所以价格降低时替代效应一定是非负的；同理，价格提高时替代效应一定是非正的。总之，替代效应总是与价格的变动方向相反。

符号小结与需求法则

收入效应的符号取决于商品的属性（以价格上升为例）：

项目	正常商品	低档商品
替代效应 $\Delta x_1^s$	负（需求减少）	负（需求减少）
收入效应 $\Delta x_1^n$	负（购买力下降→需求减少，与替代效应同向）	正（购买力下降→需求反而增加，与替代效应反向）
总效应	必为负	不确定，取决于两种效应的相对大小

（价格下降时各符号正好相反。）

需求法则：如果一种商品的需求随着收入的上升而增加，那么这种商品的需求一定会随着价格的上升而下降。

正常品、劣等品与吉芬品的斯勒茨基效应

正常品（normal good）

大多数商品是正常品：收入增加时需求量上升。价格下降时，替代效应使商品 1 的消费量增加（商品 2 减少），收入效应使商品 1、商品 2 的消费量都增加——两个效应同方向、相互加强。

因此价格下降时需求量必然增加，需求定理（The Law of Downward-Sloping Demand）总是适用于正常商品。

劣等品（inferior good）

一些商品是劣等品：需求量是收入的减函数。其替代效应与正常品一样为正（价格下降需求量增加），但收入效应为负，与替代效应方向相反。

当劣等品的价格下降时，需求量的增加还是减少取决于替代效应与收入效应的相对大小：替代效应大于收入效应，总效应为正，需求量增加；替代效应小于收入效应，总效应为负，需求量减少。

吉芬品（Giffen good）

劣等品中少见的极端情形：收入效应（负）大于替代效应（正），此时价格上升会导致需求量上升（价格下降导致需求量下降）。这类商品称为吉芬商品。

斯勒茨基分解解释了这种极端低档品”违反”需求定理的原因。不论商品是正常品、劣等品还是吉芬品，替代效应一定是非负的（与价格反向），但收入效应可正、可负；总效应的正负取决于收入效应能否压倒替代效应。

特殊偏好下的替代效应与收入效应

完全替代（perfect substitutes）

以商品 X 降价为例，分三种情形：

1. 价格变化前后最优消费束均在纵轴上：既无替代效应也无收入效应，消费者不能从 X 的降价中得到任何好处。

   

2. 无差异曲线的斜率大于价格下降前后的预算线斜率，最优消费束落在横轴上：替代效应为零，价格降低而增加的 X 商品需求量全部是收入效应。

   

3. 降价前无差异曲线的斜率小于预算线斜率（全部收入买商品 Y），降价后斜率大于预算线斜率（全部收入买商品 X）：仅有替代效应，收入效应为零。

   

完全互补（perfect complements）

无差异曲线呈 L 形：预算线转动（替代效应）阶段最优消费束不动，替代效应为零；随后的平移产生全部需求变化——收入效应 = 总效应。

拟线性偏好（quasilinear preferences）

当偏好是拟线性时，收入变动不会引起商品 1 的需求变动（无差异曲线沿 $x_2$ 方向平移，切点的横坐标不变），这意味着商品 1 的全部需求变动都由替代效应产生，收入效应为零。

应用：汽油税与退税

政策争论：政府为了减少汽油消费，提出征收汽油税。消费者可能认为这是乱征税、变相提价或降低收入水平。于是有人建议：征税之后，再以直接货币支付的方式把税收退还给消费者——这样既达到减少汽油消费的目的，又保证消费者收入水平不变。但也有人认为，这样退税就不会对汽油需求产生什么影响。你怎么看？

用替代效应与收入效应分析（设其他商品价格为 1）：

1. 初始状态：汽油价格为 $p$，最优选择为 $(x^{\ast },y^{\ast })$，预算线为 $px+y=m$。
2. 征收从量税 $t$，汽油价格由 $p$ 上升到 $p^{\prime }=p+t$；政府把税额退还给消费者，征税并退税后的预算线为：

$(p+t)x^{\prime }+y^{\prime }=m+t{x}^{\prime }$

3. 需求量由 $x$ 下降到 $x^{\prime }$，政府征收的税额 $R=t{x}^{\prime }$。
4. 关键推论：把上式两边消去 $t{x}^{\prime }$，得 $p{x}^{\prime }+y^{\prime }=m$——退税后的消费束 $(x^{\prime },y^{\prime })$ 恰好仍落在原来的预算线上。而消费者原来在原预算线上选择的是 $(x,y)$ 而非 $(x^{\prime },y^{\prime })$，说明他更偏好 $(x,y)$：退税政策使消费者的境况变差（效用从 $U_2$ 降到 $U_1$）。
5. 尽管如此，汽油消费确实下降了（$x^{\prime }<x$）。“退税会使税收不起作用”的说法不成立：退税消除了收入损失，但替代效应（汽油相对变贵）依然使需求下降。

斯勒茨基替代效应与希克斯替代效应

两种”补偿”的定义不同：

• 斯勒茨基：$x_1^s=x_1(p_1^{\prime },M^s)-x_1(p_1,M)$，其中 $M^s$ 使原消费束在 $(p_1,p_2)$ 和 $(p_1^{\prime },p_2)$ 下都买得起——补偿预算线过原消费束。
• 希克斯（Hicks）：价格变化前后的两个消费束 $(x_1,x_2)$ 与 $(x_1^{\prime \prime },x_2^{\prime \prime })$ 无差异——补偿预算线与原无差异曲线相切，维持原效用水平。

希克斯分解（以价格上升为例）：补偿预算线绕原消费束转动到与原无差异曲线 $u_1$ 相切，$(x_1,x_2)\to (x_1^{\prime \prime },x_2^{\prime \prime })$ 为希克斯替代效应；随后收入恢复到原水平、预算线平移切到 $u_2$，$(x_1^{\prime \prime },x_2^{\prime \prime })\to (x_1^{\prime },x_2^{\prime })$ 为希克斯收入效应。

斯勒茨基方程中的替代效应可以是 Slutsky 和 Hicks 两种替代效应的任一种，取决于所研究的问题。实际上对于微小的价格变动，这两种替代效应是相同的。

由此可以区分三种需求曲线：

1. 马歇尔需求曲线（Marshallian demand）——收入保持不变；
2. 斯勒茨基需求曲线（Slutsky demand）——购买力保持不变；
3. 希克斯需求曲线（Hicks demand）——效用保持不变。

数值例题

例题 1：牛奶的替代效应与收入效应

某人对牛奶的需求函数为 $x=10+\frac{m}{10p}$，原收入 $m=120$ 元，牛奶价格 $p=3$ 元，价格降为 2 元。求需求总效应、替代效应与收入效应。

解：

• 初始需求：$x_0=10+\frac{120}{10\times 3}=14$
• 补偿收入：$m^s=m+\Delta p\cdot x_0=120+(2-3)\times 14=106$
• 替代效应：$x(p^{\prime },m^s)-x_0=\left(10+\frac{106}{10\times 2}\right)-14=15.3-14=+1.3$
• 最终需求：$x(p^{\prime },m)=10+\frac{120}{10\times 2}=16$，收入效应 $=16-15.3=+0.7$
• 总效应 $=1.3+0.7=+2$（检验：$16-14=2$）

例题 2：小陈的苹果与香蕉（柯布-道格拉斯偏好）

小陈只消费苹果和香蕉，效用函数 $U(x_A,x_B)=x_A{x}_B$。苹果 1 元，香蕉 2 元，收入 40 元/天。香蕉的价格突然降为 1 元。

(a) 价格变化前的消费：柯布-道格拉斯需求 $x_A=\frac{m}{2p_A},x_B=\frac{m}{2p_B}$，得苹果 20、香蕉 10（预算线 $x_A+2x_B=40$，最优点 $(20,10)$）。

(b) 替代效应：能买起原消费束的收入 $m^s=1\times 20+1\times 10=30$ 元。在新价格 $(1,1)$、收入 30 下：$x_A^s=x_B^s=15$。香蕉的替代效应 $=15-10=+5$。

(c) 收入效应：实际需求（$p_B=1,m=40$）为 $x_A=x_B=20$。香蕉的收入效应 $=20-15=+5$。总效应 $=+10$。

(d) 对苹果的影响：香蕉降价后苹果消费 20 → 20，总量不变。其中替代效应使苹果减少 $20-15=5$，收入效应使苹果增加 $20-15=5$，两者恰好抵消。

例 3：小毛的甜品与水果（完全替代偏好）

小毛把全部收入用于甜品和水果，两种商品完全替代：一公斤甜品与一公斤水果一样好。甜品 4 元/公斤，水果 5 元/公斤，收入 120 元。

(b) 原最优选择：预算线 $4x_D+5x_F=120$；由于甜品更便宜（4 < 5），1:1 完全替代下全部收入买甜品，最佳消费点 $A=(30,0)$。

(a) 甜品降到 3 元：降价前后甜品都更便宜，最优解仍是全买甜品，消费量由 30 公斤增至 40 公斤（+10）。分解：买起 $A$ 的补偿收入 $m^s=3\times 30=90$ 元；在 $(3,5,90)$ 下仍全买甜品 30 公斤，替代效应为 0；收入效应 $=40-30=+10$。增加的甜品全部来自收入效应。

(c) 水果降到 3 元：支付原消费束 $A=(30,0)$ 所需收入 $=4\times 30+3\times 0=120$ 元，恰好不变（因为 $A$ 中没有水果）。

(d) 分解：新价格下最优选择切换为全买水果 $(0,40)$。补偿收入下（120 元、新价格）最优已经是 $(0,40)$：甜品消费 30 → 0 的全部变化都是替代效应（水果相应 0 → 40），收入效应为 0——对应”完全替代情形三：仅有替代效应”。

课堂练习（附答案要点）

1. Charlie 的效用函数为 $x_A{x}_B$。苹果 1 美元/单位、香蕉 2 美元/单位，日收入 40 美元。苹果价格涨到 8 美元（香蕉价格不变），替代效应使苹果消费减少多少？——初始 $x_A=\frac{40}{2\times 1}=20$；补偿收入 $m^s=8\times 20+2\times 10=180$；补偿需求 $x_A^s=\frac{180}{2\times 8}=11.25$；替代效应 $=-8.75$。选 C（8.75 单位）。
2. 商品 1、2 按两单位商品 2 配一单位商品 1 的比率完全互补，收入 120，$p_2$ 从 3 涨到 4（$p_1=1$ 不变），价格变化的收入效应如何？——完全互补品替代效应恒为零，需求量的全部变化都来自收入效应。选 C。
3. 飞燕草与蜀葵是 1:1 完全替代品，飞燕草 5 美元、蜀葵 6 美元，飞燕草涨到 9 美元。——角点解从飞燕草整体切换到蜀葵，需求量的全部变化均来自替代效应。选 C。
4. 查理 $U(x,y)=x{y}^2$（$x$ 为苹果、$y$ 为香蕉），$p_x=1$、$p_y=2$、$m=30$，香蕉价格降至 1，求 $y$ 的斯勒茨基替代效应与收入效应。——需求 $y=\frac{2m}{3p_y}$：初始 $y=10$；补偿收入 $m^s=1\times 10+1\times 10=20$；$y^s=\frac{2\times 20}{3}\approx 13.3$，替代效应 $\approx +3.3$；最终 $y=20$，收入效应 $\approx +6.7$。
5. 效用函数 $U=XY$，收入 100，$p_X$ 由 2 降为 1（设 $p_Y=1$），求希克斯替代效应和收入效应。——初始 $(x,y)=(25,50)$，$u=1250$；希克斯补偿需求 $x_H=\sqrt{u\cdot p_Y/p_X^{\prime }}=\sqrt{1250}\approx 35.4$，替代效应 $\approx +10.4$；最终 $x=50$，收入效应 $\approx +14.6$。

课后作业：教材 P104 课后习题 1、2、3、4、5；学习通相关习题。