中级微观04|效用

中级微观04｜效用（Utility）

从偏好到效用函数

偏好关系回顾

上一章用偏好关系（preference）刻画消费者的选择行为，记号：

• $x\succ y$：x 严格优于 y（x is strictly preferred to y）；
• $x\sim y$：x 与 y 无差异（equally preferred）；
• $x\succsim y$：x 至少和 y 一样好（preferred at least as much as y）。

理性偏好关系需满足三条公理：

1. 完全性（completeness）：对任意两个消费束 x 和 y，总能断言 $x\succsim y$ 或者 $y\succsim x$；
2. 反身性（reflexivity）：任何消费束至少与自身一样好，即 $x\succsim x$；
3. 传递性（transitivity）：若 $x\succsim y$ 且 $y\succsim z$，则 $x\succsim z$。

效用函数的存在性

一个偏好关系如果具有完全性、传递性、反身性，再加上连续性（continuity），那么它就可以被一个连续的效用函数所表示。连续性意味着：消费束数量的微小变化只会导致偏好水平（效用）的微小变化。

效用函数如何表示偏好

效用函数 $U(x)$ 表示偏好关系，当且仅当：

$$x^{\prime }\succ x^{\prime \prime }⟺U(x^{\prime })>U(x^{\prime \prime })$$ $$x^{\prime }\prec x^{\prime \prime }⟺U(x^{\prime })<U(x^{\prime \prime }),x^{\prime }\sim x^{\prime \prime }⟺U(x^{\prime })=U(x^{\prime \prime })$$

效用是序数（ordinal）概念

效用只用来排序，不含”多少倍”的信息。例如 $U(x)=6$，$U(y)=2$，只能说明消费者严格偏好 x 而不是 y，并不意味着 x 比 y 好 3 倍。

效用函数与无差异曲线

考虑三个消费束 $(4,1)$、$(2,3)$ 和 $(2,2)$，假设偏好排序为 $(2,3)\succ (4,1)\sim (2,2)$。给这些消费束赋任何数字，只要保证偏好的顺序即可，例如：

$$U(2,3)=6>U(4,1)=U(2,2)=4$$

这些数字就称为效用水平（utility levels）。

一条**无差异曲线（indifference curve）**包括所有偏好相同的消费束；相同的偏好意味着相同的效用水平，因此同一条无差异曲线上的所有消费束效用相等：$(4,1)$ 与 $(2,2)$ 同在效用水平 $U=4$ 的无差异曲线上，而 $(2,3)$ 在 $U=6$ 的无差异曲线上。

另一种直观方式是给无差异曲线图增加一个表示效用水平的纵轴，得到三维图像：每条无差异曲线被”抬升”到它对应的效用高度处。位置越高的无差异曲线包含越受偏好的消费束（higher indifference curves contain more preferred bundles）。

无差异映射

全部无差异曲线的集合称为无差异映射（indifference map，映射/镜像），它表示消费者全部的偏好。一个无差异映射等价于一个效用函数——知道了其中一个就知道了另一个。

效用函数不唯一：单调变换

一个偏好关系可以对应多个效用函数，没有唯一的效用函数。设 $U(x_1,x_2)=x_1{x}_2$ 表示某个偏好关系，仍考察 $(4,1)$、$(2,3)$、$(2,2)$：

$$U(2,3)=6>U(4,1)=U(2,2)=4\Rightarrow (2,3)\succ (4,1)\sim (2,2)$$

例 1：$V=U^2$。 则 $V(x_1,x_2)=x_1^2{x}_2^2$，

$$V(2,3)=36>V(4,1)=V(2,2)=16\Rightarrow (2,3)\succ (4,1)\sim (2,2)$$

例 2：$W=2U+10$。 则 $W(x_1,x_2)=2x_1{x}_2+10$，

$$W(2,3)=22>W(4,1)=W(2,2)=18\Rightarrow (2,3)\succ (4,1)\sim (2,2)$$

V、W 和 U 给出相同的排序，因此代表相同的偏好关系。一般地：

如果 $U$ 是表示偏好关系 $\succsim$ 的效用函数，$f$ 是严格递增函数（strictly increasing function），那么 $V=f(U)$ 也是一个能表示同一偏好关系的效用函数。

直观解释：正单调变换只是给效用数值”重新贴标签”（拉伸或平移），不改变任何一对消费束的先后次序，所以序数信息被完整保留。

好商品、坏商品与中性商品

• 好商品（goods）：效用函数关于它是严格递增的；
• 坏商品（bads）：效用函数关于它是严格递减的；
• 中性商品（neutrals）：效用函数关于它是常数。

例如水的效用函数：在 $x^{\prime }$ 单位附近，多一点或少一点水几乎不影响效用（中性）；少于 $x^{\prime }$ 时水是好商品，多于 $x^{\prime }$ 时水变成坏商品。

几种常用效用函数及其无差异曲线

回顾上一章几种特殊的偏好：完全替代（perfect substitutes）、完全互补（perfect complements）与良态偏好（well-behaved preferences）。它们的效用函数是什么？

完全替代（perfect substitutes）

$$V(x_1,x_2)=x_1+x_2$$

其无差异曲线为 $x_1+x_2=k$（如 $k=5,9,13$）。所有无差异曲线都是直线（linear）且相互平行（parallel），斜率均为 $-1$：按 $1:1$ 的比率交换两种商品，效用不变。

完全互补（perfect complements）

$$W(x_1,x_2)=\min \{x_1,x_2\}$$

其无差异曲线 $\min \{x_1,x_2\}=k$（如 $k=3,5,8$）。所有无差异曲线都是直角（right-angled）折线，顶点落在从原点出发的 45° 射线上：只有两种商品按 $1:1$ 搭配时才增加效用，单独增加任何一种都是浪费。

拟线性（quasi-linear）

形如

$$U(x_1,x_2)=f(x_1)+x_2$$

的效用函数仅对 $x_2$ 是线性的，称为**拟线性（quasi-linear）**效用函数。例如 $U(x_1,x_2)=2x_1^{1/2}+x_2$，其无差异曲线可写为 $x_2=k+v(x_1)$。

几何特征：每一条无差异曲线都是其他无差异曲线在垂直方向上的平移（vertically shifted copy）——形状完全相同，只是上下移动。

柯布-道格拉斯（Cobb-Douglas）与良态偏好

形如

$$U(x_1,x_2)=x_1^a{x}_2^b,a>0,b>0$$

的效用函数称为柯布-道格拉斯（Cobb-Douglas）效用函数。例如：

• $U(x_1,x_2)=x_1^{1/2}{x}_2^{1/2}$（$a=b=1/2$）；
• $V(x_1,x_2)=x_1{x}_2^3$（$a=1,b=3$）。

柯布-道格拉斯无差异曲线都是双曲线（hyperbolic）：渐近于（asymptoting to）两条坐标轴，但永远不接触任何一条轴。这类平滑、凸向原点、单调的无差异曲线正对应良态偏好（well-behaved preferences）。

边际效用（marginal utility）

“边际”意味着增量。商品 i 的边际效用是消费量变化时效用的变化率：

$$M{U}_i=\frac{\partial U}{\partial x_i}$$

例： 若 $U(x_1,x_2)=x_1^{1/2}{x}_2^2$，则

$$M{U}_1=\frac{\partial U}{\partial x_1}=\frac{1}{2}{x}_1^{-1/2}{x}_2^2,M{U}_2=\frac{\partial U}{\partial x_2}=2x_1^{1/2}{x}_2$$

边际效用与边际替代率（MRS）

推导

无差异曲线满足一般性等式

$$U(x_1,x_2)=k,k\text{ 为常数}$$

沿无差异曲线对上式全微分（total differential）：

$$\frac{\partial U}{\partial x_1}d{x}_1+\frac{\partial U}{\partial x_2}d{x}_2=0$$

移项整理得

$$\frac{d{x}_2}{d{x}_1}=-\frac{\partial U/\partial x_1}{\partial U/\partial x_2}=-\frac{M{U}_1}{M{U}_2}$$

这就是边际替代率（marginal rate of substitution, MRS）：无差异曲线的斜率。

例：$U(x_1,x_2)=x_1{x}_2$

$$M{U}_1=\frac{\partial U}{\partial x_1}=x_2,M{U}_2=\frac{\partial U}{\partial x_2}=x_1$$ $$MRS=\frac{d{x}_2}{d{x}_1}=-\frac{M{U}_1}{M{U}_2}=-\frac{x_2}{x_1}$$

代入具体点：

$$MRS(1,8)=-\frac{8}{1}=-8,MRS(6,6)=-\frac{6}{6}=-1$$

同一条无差异曲线上，消费束越靠左上（$x_1$ 小、$x_2$ 大），无差异曲线越陡；越靠右下越平缓——正体现了良态偏好的凸性。

拟线性效用函数的 MRS

对拟线性效用函数 $U(x_1,x_2)=f(x_1)+x_2$：

$$\frac{\partial U}{\partial x_1}=f^{\prime }(x_1),\frac{\partial U}{\partial x_2}=1$$ $$MRS=\frac{d{x}_2}{d{x}_1}=-\frac{\partial U/\partial x_1}{\partial U/\partial x_2}=-f^{\prime }(x_1)$$

MRS $=-f^{\prime }(x_1)$ 不依赖于 $x_2$，所以拟线性无差异曲线的斜率对给定的 $x_1$ 而言是常数（constant）：在任何 $x_1$ 取值相同的竖直线上，各条无差异曲线的斜率都相同。这也再次解释了为什么拟线性无差异曲线彼此只是垂直平移。

边际替代率与单调变换

单调变换后的效用函数代表相同的偏好，那么 MRS 会改变吗？

例： 对 $U(x_1,x_2)=x_1{x}_2$，$MRS=-x_2/x_1$。取 $V=U^2$，即 $V(x_1,x_2)=x_1^2{x}_2^2$：

$$MR{S}_V=-\frac{\partial V/\partial x_1}{\partial V/\partial x_2}=-\frac{2x_1{x}_2^2}{2x_1^2{x}_2}=-\frac{x_2}{x_1}$$

与 U 的 MRS 完全相同。

一般结论： 若 $V=f(U)$，$f$ 为严格递增函数，则

$$MR{S}_V=-\frac{f^{\prime }(U)\partial U/\partial x_1}{f^{\prime }(U)\partial U/\partial x_2}=-\frac{\partial U/\partial x_1}{\partial U/\partial x_2}$$

$f^{\prime }(U)$ 在分子分母中约去。边际替代率对效用函数做正单调变换（positive monotonic transformation）是不变的（invariant）——这与 MRS 是无差异曲线的几何斜率相一致：重新标注效用水平不会改变曲线本身的形状。