中级微观02｜预算约束

教材：Varian, Intermediate Microeconomics: A Modern Approach, 8th ed., W.W. Norton（中译版《微观经济学：现代观点》，格致出版社）。

本章要点：预算约束（budget constraint）与预算集（budget set）的定义、预算线的斜率及其机会成本含义；收入变动使预算线平移、价格变动使预算线转动；税收、补贴、食品券、数量折扣、负价格等如何改变预算线的位置与形状。

一、预算约束与预算集

消费选择集

消费者的选择受什么因素的约束？——预算（budget）、**时间（time）**以及其他资源限制（other resource limitations）。本章先只考虑预算。

预算约束

消费束（consumption bundle）：用 $n$ 维向量表示消费者选择的商品数量组合

$(x_1,x_2,\dots ,x_n)$

对应的商品价格为 $p_1,p_2,\dots ,p_n$。

问题：哪些消费束 $(x_1,\dots ,x_n)$ 在给定价格 $p_1,\dots ,p_n$ 下是可行的（affordable）？

回答：当支出不超过可支配收入时可行：

$p_1{x}_1+\cdots +p_n{x}_n\le m$

其中 $m$ 表示消费者的可支配收入（disposable income）。上述约束即消费者的预算约束（budget constraint）。

预算集

**预算集（budget set）**是所有可行消费束的集合：

$B(p_1,\dots ,p_n,m)=\{(x_1,\dots ,x_n)\mid x_1\ge 0,\dots ,x_n\ge 0\text{ 且 }{p}_1{x}_1+\cdots +p_n{x}_n\le m\}$

预算约束就是预算集的上边界（upper boundary）。

二、两种商品：预算线

两种商品时，预算集与预算约束为（$x_2$ 画在纵轴、$x_1$ 画在横轴）：

$p_1{x}_1+p_2{x}_2=m$

• 纵截距：$x_1=0$ 时 $x_2=m/p_2$——全部收入买商品 2 能得到的数量；
• 横截距：$x_2=0$ 时 $x_1=m/p_1$——全部收入买商品 1 能得到的数量。

把预算线写成斜截式即可看出斜率：

$x_2=-\frac{p_1}{p_2}{x}_1+\frac{m}{p_2}\Rightarrow \text{斜率}=-\frac{p_1}{p_2}$

可行、恰好可行与不可行

以预算线为界可以把消费束分成三类：

• 预算线下方：可行（affordable）——花不完的钱；
• 预算线上：恰好可行（just affordable）——恰好花光全部收入；
• 预算线上方：不可行（not affordable）——超出购买力。

三、斜率的含义：机会成本

预算线斜率为 $-p_1/p_2$，它的经济含义是机会成本（opportunity cost）：

• 在预算约束下，多获得 1 单位商品 1，就必须放弃 $p_1/p_2$ 单位商品 2；
• 反过来，多获得 1 单位商品 2，必须放弃 $p_2/p_1$ 单位商品 1。

即市场为消费者提供的交换比率是固定的：$1$ 单位商品 1 恰好”兑换” $p_1/p_2$ 单位商品 2。

四、三种商品的预算约束

三种商品时预算约束与预算集为

$p_1{x}_1+p_2{x}_2+p_3{x}_3=m$

$\{(x_1,x_2,x_3)\mid x_1\ge 0,x_2\ge 0,x_3\ge 0\text{ 且 }{p}_1{x}_1+p_2{x}_2+p_3{x}_3\le m\}$

预算约束是一个平面三角形（与三个坐标轴交于 $m/p_1$、$m/p_2$、$m/p_3$），预算集是其下方的三棱锥区域。

五、收入变动：预算线平移

预算约束依赖于价格和收入，那么价格或收入变化时，预算集如何变化？

收入增加

收入 $m$ 增加：两条截距 $m/p_1$、$m/p_2$ 都变大，斜率 $-p_1/p_2$ 不变，预算线向外平移，新旧预算线平行（parallel）。预算集扩大，出现新的可行消费选择——消费者状况变好。

收入减少

收入 $m$ 减少：预算线向内平移，仍有斜率不变、两线平行。原来可行的部分消费束不再可行，预算集缩小——消费者状况变差。

小结：收入的增加使预算线向外平移，增大预算集合、增加选择，消费者变好；收入的减少使预算线向内平移，减小预算集合、减少选择，消费者变差。

六、价格变动：预算线转动

设商品 1 的价格由 $p_1^{\prime }$ 下降到 $p_1^{\prime \prime }$（$p_1^{\prime \prime }<p_1^{\prime }$）：

• 纵截距 $m/p_2$ 不变（与 $p_1$ 无关）；
• 横截距由 $m/p_1^{\prime }$ 增大到 $m/p_1^{\prime \prime }$；
• 预算线绕纵截距向外转动（pivot），斜率从 $-p_1^{\prime }/p_2$ 变平坦为 $-p_1^{\prime \prime }/p_2$；
• 预算集扩大，消费者变好。

反之，提高一种商品的价格将使预算线绕纵截距向内转动，降低消费者的福利。

七、计价物

当我们把一种商品的价格设定为 1 时，它的价格被称为计价物（numeraire）——即”一单位的账户”（unit of account）。

举例：设价格和收入用美元计价，p_1 = \2$，$p_2 = $3$，$m = $12$，预算约束为

$2x_1+3x_2=12$

若改用美分计价：$p_1=200$，$p_2=300$，$m=1200$，约束为 $200x_1+300x_2=1200$——与上式完全相同（两边同除以 100 即得）。

结论：计价单位（计价物）的变化不改变预算约束和预算集——起作用的只是相对价格 $p_1/p_2$ 和实际收入水平。

八、经济政策对预算线的影响

税收、补贴和配给是政府干预市场常常采用的经济政策。这里分析税收与补贴如何改变预算线。

1. 税收

从量税（数量税）

数量税（从量税，specific tax）：对每单位商品征收一定的税，消费者每消费一单位商品就要支付一定的税。常见例子是汽油税。

若对商品 1 征收从量税 $T$：原来购买商品 1 的货币支出是 $p_1{x}_1$，现在的支出是

$p_1{x}_1+T{x}_1=(p_1+T)x_1$

相当于商品 1 的价格由 $p_1$ 变为 $p_1+T$，预算线绕纵截距向内转动。

从价税

从价税（ad valorem tax）：对商品的价格（价值）征收的税，消费者每消费一元钱的商品要支付一定的税。常见例子是消费税（汽车、住房、名烟、名酒等高档消费）。

若对商品 1 征收从价税（税率 $T$）：现在的支出是

$(p_1+p_{1}T)x_1=(1+T)p_1{x}_1$

即现在买一元钱商品 1 的实际价格是 $(1+T)p_1$，比原来多支付 $T{p}_1$。

常见税收分类

英文	中文	示例
ad valorem tax	从价税	消费税
specific tax / duty	从量税	汽油税
direct tax	直接税	所得税（income tax）：公司所得税、个人所得税
indirect tax	间接税	增值税（added-value tax）、消费税（consumption tax）、关税（tariff）、营业税（business tax）

一价销售税：等价于收入税

一价销售税（uniform ad valorem sales tax）：对两种商品按同一税率 $t$ 征收从价税。预算约束由

$p_1{x}_1+p_2{x}_2=m$

变为

$(1+t)p_1{x}_1+(1+t)p_2{x}_2=m⟺p_1{x}_1+p_2{x}_2=\frac{m}{1+t}$

斜率 $-p_1/p_2$ 不变，预算线向内平移：纵截距由 $m/p_2$ 降为 $\frac{m}{(1+t)p_2}$，横截距由 $m/p_1$ 降为 $\frac{m}{(1+t)p_1}$。

相当于消费者的”实际购买力收入”变为 $\frac{m}{1+t}$，收入损失为

$m-\frac{m}{1+t}=\frac{t}{1+t}m$

重要结论：税率为 $t$ 的一价销售税，等价于对收入征收税率为 $\frac{t}{1+t}$ 的收入税。

2. 补贴

补贴的情况与税收相反：税收是消费者要多支出的，补贴是消费者额外得到的。同样分从量补贴和从价补贴两种。

从量补贴

从量补贴：政府根据消费者购买商品的数量给予补贴。若每消费 1 单位商品 1 补贴 $s$ 元：原来支出 $p_1{x}_1$，现在的支出是

$p_1{x}_1-s{x}_1=(p_1-s)x_1$

即买 1 单位商品 1 现在实际支付的价格是 $p_1-s$。

从价补贴

从价补贴：政府根据商品的价格给予补贴。若消费者每消费一元钱的商品政府给予补贴率 $\sigma$：现在的支出是

$(p_1-\sigma p_1)x_1=(1-\sigma )p_1{x}_1$

即买一元钱商品 1 现在实际支付的价格是 $(1-\sigma )p_1$。

3. 案例：食物券计划（The Food Stamp Program）

食品券（food stamps）是一种只能换取食品的礼券（coupons）。它如何影响预算约束和预算集合？

基本情形

设收入 m = \100$，食品价格$p_F = $1$，其他商品价格$p_G = $1$。没有食品券时的预算约束为

$F+G=100$

发放 40 单位食品券后：食品券只能买食品，所以其他商品的消费仍受现金约束（$G\le 100$），而食品最多可达 $100+40=140$ 单位。新预算集为

$\{F\ge 0,G\ge 0,G\le 100,F+G\le 140\}$

预算线在 $G=100$ 处有一段从 $(0,100)$ 到 $(40,100)$ 的水平段，随后沿 $F+G=140$ 下降到 $(140,0)$。家庭的预算集扩大了（enlarged）。

存在黑市交易

如果食品券可以在**黑市（black market）**上以每张 \0.50$ 转卖呢？

• 把券全部卖掉可得 \0.50 \times 40 = $20$，相当于收入增至$$120$：预算线顶端移到$(0, 120)$；
• 在 $0\le F\le 40$ 段，每多留 1 单位食品券自己吃，就少卖 \0.5$，该段预算线为$G \le 120 - 0.5F$（斜率$-0.5$），从$(0,120)$到$(40, 100)$；
• 在 $F\ge 40$ 段仍为 $F+G\le 140$（斜率 $-1$），从 $(40,100)$ 到 $(140,0)$。

黑市交易使预算线在原有基础上”抬起”一个新区域，预算集合进一步增大。

九、预算约束的形状

为什么预算线是直线？

问：为什么预算约束是一条直线？

答：直线有固定的斜率。预算线是 $p_1{x}_1+\cdots +p_n{x}_n=m$，只要价格是常数，每一处的交换比率都相同，预算约束就是直线。

但如果价格不是常量呢？例如团购打折（bulk buying discounts）、限量优惠（对买”太多”的价格惩罚，price penalties）——预算约束就不再是直线了。

数量折扣：折线预算集

设 $p_2$ 恒为 \1$，而商品 1 有数量折扣：

$p_1=\{\begin{array}{ll}\$2,& 0\le x_1\le 20\\ \$1,& x_1>20\end{array}m=\$100$

则预算线斜率分段：

$-\frac{p_1}{p_2}=\{\begin{array}{ll}-2,& 0\le x_1\le 20\\ -1,& x_1>20\end{array}$

预算约束为折线（在 $x_1=20$ 处有个拐点，两段相连）：

$x_2=\{\begin{array}{ll}100-2x_1,& 0\le x_1\le 20\\ 80-x_1,& x_1>20\end{array}$

前段从 $(0,100)$ 到 $(20,60)$，后段从 $(20,60)$ 到 $(80,0)$。买得越多、折扣价越便宜，预算线越买越平缓，向外凸出。

负价格商品

设商品 1 是臭垃圾（stinky garbage）：**每接受 1 单位你还能得到 \2$\ast \ast ，即$p_1 = -$2$；$p_2 = $1$；不接受垃圾的其他收入$m = $10$。预算约束为

$-2x_1+x_2=10⟺x_2=2x_1+10$

斜率 $-\frac{p_1}{p_2}=-\frac{-2}{1}=+2>0$：预算线向上倾斜——接受越多垃圾，获得的”收入”越多，能消费的商品 2 就越多。

预算集为所有满足 $x_1\ge 0$、$x_2\ge 0$ 且 $x_2\le 2x_1+10$ 的消费束。

十、更一般的选择集合

现实中，选择通常不只受预算约束，还受时间约束（time constraint）和其他资源约束（other resource constraints）。一个消费束可行（available）当且仅当它满足每一个约束。

例如：要活命至少要吃 10 单位食物（生存约束），同时选择还受预算约束的限制：

再叠加时间约束后，可选范围进一步缩小。选择集（choice set）是所有约束集的交集（intersection）。